2012中考數(shù)學(xué)考點(diǎn) 解證比例線段

    　　比例的三條性質(zhì)，是相似形中證明比例線段問題的基本依據(jù)，若能靈活加以應(yīng)用，則可減少思維障礙，迅速打開解題突破口。
    1        巧用基本性質(zhì)
       “三點(diǎn)形法”是證明線段等積的最常用也是最有效的方法。它是根據(jù)比例的基本性質(zhì)，將等積式轉(zhuǎn)化為比例式，找出其中包含的幾個(gè)字母，是否存在可由“三點(diǎn)”定出的兩個(gè)相似三角形。
        例1、如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，E為AC上一點(diǎn)，點(diǎn)G在BE上，連結(jié)DG并延長(zhǎng)交AE于F，若∠FGE=，（1）求證：BD·BC=BG·BE；（2）求證：AG⊥BE；（3）若E為AC的中點(diǎn)，求EF∶FD的值。
    
    分析：（１）將待證的等積式化為比例式：，橫看：比例式的兩個(gè)分子為B、D、E三點(diǎn)，兩個(gè)分母為B、G、C三點(diǎn)，均不能構(gòu)成相似三角形；豎看：比例式左端BD、BG構(gòu)成△BDG，右端BE、BC構(gòu)成△BEC，依“三點(diǎn)形法”只需證△BDG∽△BEC；（2）、（3）分析略。
    在運(yùn)用“三點(diǎn)形法”時(shí)，首先要化等積式為比例式，然后再橫看看、豎看看，找到相似三角形進(jìn)而證明。但有時(shí)將等積式化為比例式后無(wú)法再用“三點(diǎn)形法”，此時(shí)還需運(yùn)用以下三種常用的轉(zhuǎn)化方法進(jìn)行證明：
    1．1  等線段轉(zhuǎn)化法
    例2、如圖2，△ABC中，AB=AC，AD是中線，P為AD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，延長(zhǎng)BP交AC于E，交CF于F，求證：=PE·PF
    
    分析：線段BP、PE、PF在同一條直線BE上，無(wú)法用相似三角形來(lái)證明。連結(jié)PC，可得BP=PC，故可用PC來(lái)替換BP。
    證明：連結(jié)PC，
    ∵△ABC中，AB=AC，AD是中線
    ∴AP平分∠BAC ，∠BAP=∠CAP
       ∴△BAP≌△CAP，
    ∴BP=CP，∠ABP=∠ACP
    又∵CF∥AB
    ∴∠ABP=∠F
    ∴∠ACP=∠F
    ∴△PCF∽△PEC
    ∴，=PE·PF
    而 BP=CP
    ∴=PE·PF
    將某線段用與其相等的線段替換，以便能構(gòu)成相似三角形，這是證明線段比例式和等積式的基本方法之一。
    1．2  等積轉(zhuǎn)化法
    例3、如圖3，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求證：AE·AB=AF·AC
    
        分析：待證結(jié)論中的線段雖然能構(gòu)成△ABC與△AEF，但不能找到相似條件。注意到題目中的垂直關(guān)系較多，聯(lián)系課本中的“母子相似形”這一基本圖形的有關(guān)結(jié)論，可將待證結(jié)論轉(zhuǎn)化。
    證明：
    ∵AD⊥BC， DE⊥AB
    ∴Rt△ADB∽R(shí)t△AED
    ∴，=AB·AE
    　　同理，=AF·AC
    ∴AE·AB=AF·AC
    “母子相似形”這一基本圖形是教材中的例題，它的基本結(jié)論有如下幾個(gè)：如圖，在Rt△ABC中CD⊥AB于D，則有
    
    ① △ABC∽△ACD∽△CBD
    ②  =BD·AD，
    =AD·AB，
    =BD·AB
    ③ CD·AB= BC·AC
    要特別注意這些結(jié)論的靈活運(yùn)用。
    1．3  等比轉(zhuǎn)化法
    例4、已知如圖4,CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，E為BC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線交CA于F，求證：AC∶BC=DF∶CF
    
        分析：將結(jié)論改寫為：，橫看，分子不能構(gòu)成兩個(gè)三角形；豎看，雖依“三點(diǎn)形法”有△ABC與△DCF，但它們顯然不相似，只能另尋突破口。注意到“母子相似形”這一重要的基本圖形，有，故只需證，即證△FDC∽△FAD。
        證明：∵在Rt△ABC中，CD⊥AB
    ∴∠B=∠ACD，
    ∵△ACD∽△CBD
    ∴
    　　  又∵E為Rt△CDB中BC的中點(diǎn)
    　　∴DE=BE=CE，∠B=∠EDB=∠ADF
    　　∴△FDC∽△FAD
    　　　∴
    　　　　∴   即AC∶BC=DF∶CF
    以上幾種方法都是利用比例的基本性質(zhì)對(duì)待證結(jié)論進(jìn)行的等價(jià)轉(zhuǎn)化,這種轉(zhuǎn)化是相似形中最常用的一種變形。
    2        巧用合比性質(zhì)
        當(dāng)待證結(jié)論經(jīng)轉(zhuǎn)化后，其形式與合比性質(zhì)相似，這時(shí)應(yīng)再次運(yùn)用合比性質(zhì)將結(jié)論進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，直至找到相似三角形。
    例5、已知如圖5,在△ABC中，AD為∠BAC的角平分線，EF是AD的垂直平分線且交AB于E，交BC的延長(zhǎng)線于F，求證：DC·DF=BD·CF
    
    分析：欲證：DC·DF=BD·CF
    即證：
    即證：
    若連結(jié)AF，則AF=DF
    故即證：
    只需證△FAB∽△FCA
    證明：
    連結(jié)AF，則AF=DF，∠FAD=∠FDA
    ∵AD平分∠BAC
    ∴∠BAD=∠CAD
    又∵∠FAD=∠CAD+∠CAF，∠FDA=∠B+∠BAD
    ∴∠B=∠CAF
    ∴△FAB∽△FCA，以下證明略。
    3        巧用等比性質(zhì)
    例6、如圖6，I是△ABC三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，AI交對(duì)邊于D，求證：
    
    分析：觀察等式右邊，可用合比性質(zhì)或等比性質(zhì)轉(zhuǎn)化。但若用合比性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，左邊不易轉(zhuǎn)化，故考慮用等比性質(zhì)轉(zhuǎn)化待證結(jié)論。
    欲證：
    即證：
    由于BI、CI分別平分∠ABC、∠ACB，
    故有：
    由等比性質(zhì)，得證。
    注：本題證明過(guò)程中應(yīng)用了角平分線的性質(zhì)，即如圖7，若AD平分∠BAC，則
    
    

(圖7)

相似三角形中比例線段的證明方法很多，也很靈活。我們只有在平時(shí)學(xué)習(xí)中主動(dòng)探究，合作交流，注重總結(jié)，舉一反三，這樣才能真正做數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人。
     
    
    

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