2012中考數(shù)學(xué)考點 幾何圖形

    本章主要介紹了學(xué)習(xí)幾何圖形與實物的關(guān)系，圖形的基本要素（點、線、面），借助平面圖形認(rèn)識幾何體的三種手段（將幾何體表面展開，從不同的方向看幾何體、用平面去截幾何體）?，F(xiàn)與同學(xué)們共同歸納總結(jié)一下：
     
    一、知識結(jié)構(gòu)圖
     
    　　　　　　　　
     
    二、知識歸納
     
    　　1．幾何體是從實物中抽象出的數(shù)學(xué)模型。識別幾何體，應(yīng)以直觀觀察為主，常見幾何體的基本特征
     
    長方體：有8個頂點、12條棱、6個面，且每個面都是長方形.想一想：正方體呢？
     
    棱柱：上下兩個面為棱柱的底面（它們的大小與形狀完全相同），其它各個面為棱柱的側(cè)面，且每個側(cè)面都是長方形.
     
    圓柱：上下兩個底面是半徑相同的兩個圓，側(cè)面是由一個曲面圍成.想一想：圓錐和球各有什么特征？如圓柱：特征如兩個底面是相等的圓等。圓錐：特征如象錐子，底面是個圓等。棱柱：特征如底邊是多邊形，側(cè)面是長方形等。但這類特征并非是要做出嚴(yán)密的、科學(xué)的結(jié)論，可因觀察者的視角變化而變化。
     
    2．生活中的立體圖形都是由最基本幾何圖形組成的，其中線是由點組成的，面是由線構(gòu)成的，體是由面圍成的。用運動的觀點看，即“點動成線、線動成面、面動成體”。
     
    3．幾何體與其表面展開圖之間的互相關(guān)系，即折疊與展開關(guān)系，不僅是一個思考過程，也是一個實際操作過程。幾何體展開得到的平面圖形不是唯一的，剪開的方式不同，得到的平面展開圖是不一樣的。因此考慮問題必須要周全，否則，容易在解題時因考慮不周而導(dǎo)致出錯。
     
    4．在觀察過程中，從不同方向觀察同一物體可能看到不同的結(jié)果，所以一般要從正面、左面、上面三個不同的方向進行觀察，才能描述出正確的幾何體。
     
    5．同一個幾何體，可以有不同的截面，反過來，同一個截面，可存在于不同的幾何體中。僅憑一個截面，往往是推不出原來的幾何體的。如用一個平面去截一個幾何體，得到的截面是三角形，這個幾何體可能是圓錐、三棱柱、正方體或長方體，而一個圓柱可截出圓、長方形或正方形等。要判定一個截面的形狀，首先找出平面和幾何體的面相交而成的線，其次判斷這些線圍成的截面的形狀。
     
    6．畫出幾何體的表面展開圖、從不同的方向看幾何體、用平面截幾何體是三種將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形進行研究的手段。
     
    三、考點例析
     
    　　考點1　幾何體的分類：
     
    　　例1、下列幾何體中是圓柱的為（　　）.
     
    　　
     
    析解：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形特征，區(qū)分三棱錐與圓錐、四棱錐、五棱錐，可從底面的形狀入手進行判斷。B中的底面是圓，故不是棱錐，C的底面是四邊形，D的底面是五邊形，它們都不是三棱錐，只有A是三棱錐。
     
    溫馨提示：將幾何體分類，方法并不唯一，只要能說明分類的理由即可．但要注意：按某一標(biāo)準(zhǔn)分類時，要做到不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)不同時，分類的結(jié)果也就不盡相同．
     
    練習(xí)1：請將圖1中的5個幾何體進行分類，并說明它們是由哪些面圍成的？
     
    　　　
     
    考點2   圖形的展開與折疊：
     
    　　例2、（2007年北京）右圖所示是一個三棱柱紙盒，在下面四個圖中，只有一個是
     
    這個紙盒的展開圖，那么這個展開圖是（    ）
     
    　
     
    析解：此題考查同學(xué)空間想象能力的推理能力，A答案中，不妨把圓作為前面展開，則有一個三角形在左和另一個三角形應(yīng)在上，而上方是空白的，所以不對。B答案中，還是以圓作為前面來展開，右邊三角形應(yīng)在左邊，所以也不對，C答案中，前面、左面、上面這三個面在展開圖中不可能出現(xiàn)在一條線上。因此本題答案選D。
     
    例3、（2007年陜西課改）下面四個圖形中，經(jīng)過折疊能圍成如圖只有三個面上印有圖案的正方體紙盒的是（    ）
     
    　　
     
    解析：在正方體的表面展開圖中，相對的面只能看到一個，即帶“小三角形”“正方形”“圓”的面不能是相對的面，所以應(yīng)選擇B
     
    溫馨提示：判斷一個平面圖形是不是某立體圖形的平面展開圖，需要從底面和側(cè)面的情況進行分析，反之相同，因此在平時的學(xué)習(xí)中，要多進行常見立體圖形的實驗和操作，并從多角度進行觀察、分析，從中總結(jié)規(guī)律，這樣在解題時就不需要一個個進行操作實驗，根據(jù)這些規(guī)律，即可快捷的解決問題。
     
    練習(xí)2：如左圖所示的立方體，將其展開得到的右圖中的圖形是（    ）
     
     
    　
     
    練習(xí)3：下面4個圖均由6個小正方形組成，若以每個小正方形為面，則可以折疊成正方體的是（      ）.
     
    　　
     
    考點3  立體圖形的三視圖
     
    　　例4、(2007山西臨汾）右圖是由相同小正方形搭的幾何體的俯視圖（小正方形中所標(biāo)的數(shù)
     
    字表示在該位置上小正方體的個數(shù)），則這個幾何體的左視圖是（   ）
     
    
     　　
    

D

C

B

A

     
    　　
     
    　　析解：根據(jù)該幾何體從上面看得到的平面圖，可知其從正面看得到的平面圖形有三列：第一列有3個小立方塊，第二列有2個小立方塊，第三列有1個小立方塊。其從左面看得到的平面圖形也有三列：第一列有1個小立方塊，第二列有3個小立方塊，第三列有2個小立方塊。因此該幾何體從正面看和從左面看得到的平面圖形應(yīng)為C。
     
    溫馨提示：由從上面看得到的平面圖畫從正面看和從左面看得到的平面圖，其要領(lǐng)是：（1）從正面看得到的平面圖與從上面看得到的平面圖列數(shù)相同，其每列塊數(shù)是從上面看得到的平面圖中該列最大的數(shù)字；（2）從左面看得到的平面圖的列數(shù)與從上面看得到的平面圖的行數(shù)相同，其每列的方塊數(shù)是從上面看得到的平面圖該行中最大的數(shù)字；（3）從正面看得到的平面圖的行數(shù)與從左面看得到的平面圖的行數(shù)相同，其每行的方塊數(shù)是從正面看得到的平面圖中該行最大的數(shù)字。
     
    練習(xí)4：如圖是由小立方塊堆成的幾何體從上面看得到的平面圖，小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方塊的個數(shù)，請你畫出該幾何體從正面看和從左面看得到的平面圖形。
     
    　　
     
    考點4　幾何體的“旋轉(zhuǎn)構(gòu)成”
     
    　　例5、（2007年重慶課改）將如圖所示的繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的主視圖是（    ）
     
    　　
     
    分析：旋轉(zhuǎn)之后得到如圖所示的立體圖形：則其主視圖應(yīng)為D
     
    　　　　　　　　
     
    　?。?/b>拓展）　將一個直角三角形ABC繞它的一邊旋轉(zhuǎn)，試畫出旋轉(zhuǎn)后所得到的幾何體.
     
    　　分析：由于題目中沒有說明繞哪條邊旋轉(zhuǎn)，考慮到直角三角形有三條邊，所以必須分三種情況，得到三個不同的幾何體.
     
    解：如圖2分別沿三條邊旋轉(zhuǎn)一周，得到如圖3所示的三個幾何體：  
     
    　　
     
    溫馨提示：在旋轉(zhuǎn)過程中，若點在“軸”上，則旋轉(zhuǎn)一周后該點的位置不變；若點不在“軸”上，則旋轉(zhuǎn)一周后形成一個圓；與“軸”重合的線段旋轉(zhuǎn)一周后仍然與軸重合；與“軸”垂直的線段旋轉(zhuǎn)一周后得到一個平面（圓）；與“軸”不垂直的線段旋轉(zhuǎn)一周后得一個曲面.
     
    練習(xí)5：將三角形繞直線l旋轉(zhuǎn)一周，可以得到圖4所示的立體圖形的是（　?。?
     
    　　　
     
    考點5　幾何體的截面
     
    例6　用一個平面去截一個正方體，如果截去的幾何體有四個面，請回答下列問題：
     
    （1）截面一定是什么圖形？
     
    （2）剩下的幾何體可能有幾個頂點？
     
    解：（1）如果截去的幾何體是一個三棱錐，那么截面一定是一個三角形．
     
    （2）剩下的幾何體可能有7個、或8個、或9個、或10個頂點，如圖9所示．
     
    　　　
     
    溫馨提示：本題是典型的開放性問題，對于七年級的你來說具有很強的挑戰(zhàn)性．解題的關(guān)鍵在于抓住“截面為三角形”這一特點，于是可聯(lián)想到上述各種不同情況．
     
    練習(xí)6：如圖10，如果把一個邊長為2厘米的正方體截成八個邊長為1厘米的小正方體，至少需截____次.
     
    　　　
     
    考點6  能力拓展題
     
    　?。?/b>1）探究型
     
    　　例7、（2007年河北）用M，N，P，Q各代表四種簡單幾何圖形（線段、正三角形、正方形、圓）中的一種．
     
    圖6-1—圖6-4是由M，N，P，Q中的兩種圖形組合而成的（組合用“&”表示）．
     
    　　
     
    那么，下列組合圖形中，表示P&Q的是（    ）
     
    　
     
    分析：觀察前幾個圖案中看得見情形歸納、猜想出線段、正三角形、正方形、圓分別用Q、N、M、P表示，則P&Q表示線段和圓的組合。應(yīng)選擇B
     
    （2）猜想型
     
    　　例8、一物體的外形為正方體，為探明其內(nèi)部結(jié)構(gòu)，給其“做CT”.用一組豎直方向(自左向右)的平面截這個物體，按順序得到如圖7的截面，請你猜猜這個正方體的內(nèi)部構(gòu)造.
     
    　　　　　
     
    　　圖7
     
    　　析解：由截面形狀去想象幾何體與給一個幾何體想象它的截面是一個互逆的思維過程，要根據(jù)所給截面形狀仔細(xì)分析，展開想象。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：在正方體內(nèi)部的圓由上至下由點逐漸變成小圓、大圓，又逐漸變成小圓、點。通過這一變化過程可以猜想：
     
    正方體中間有一球狀(或橢球狀、雙側(cè)圓錐狀等)空洞
     
    溫馨提示：這類試題要求同學(xué)們從觀察前幾個圖案中看得見情形進行歸納、猜想，綜合考察了同學(xué)們對圖形的觀察和對數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)探究能力，是近兩年中考的一類熱點問題。
     
    練習(xí)7：（2007年日照）如圖，正方形ABCD的邊長是3cm，一個邊長為1cm的小正方形沿著正方形ABCD的邊AB→BC→CD→DA→AB連續(xù)地翻轉(zhuǎn)，那么這個小正方形第一次回到起始位置時，它的方向是（    ）
     
    　
     
    練習(xí)題答案：
     
    1、圖1中的（1）、（2）、（5）是柱體.其中（1）是長方體，它由6個長方形的平面圍成；（2）是圓柱體，它由2個圓和一個曲面圍成；（5）是棱柱體，它由2個三角形平面和三個長方形平面圍成.（3）是錐體，它由一個圓和一個曲面圍成.（4）是球體,它只由一個曲面圍成.
     
    2、B；  3、 B；  4、如圖　　　　5、　　B；  6、7次　　?。?、 B；
     
    
    
    

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