學(xué)會(huì)“分析”是完美解題之源
江蘇省如東縣大豫鎮(zhèn)社區(qū)教育中心 陳 耀
分析是解決問(wèn)題的前提，完美的解法來(lái)源于對(duì)問(wèn)題的周密的分析，分析的首要任務(wù)是從問(wèn)題的條件與結(jié)論中提取有利的解題信息。本文舉例談?wù)劷鉀Q問(wèn)題時(shí)分析的思路和方法。
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例1 如圖，在△ABC中，AB=AC=7㎝，點(diǎn)P是BC邊上的一點(diǎn)，AP=5㎝，求BP·CP的值。
分析一：顯然，這里不宜考慮用相似三角形的方法來(lái)求得結(jié)果。可換個(gè)角度想BP·CP能否作些轉(zhuǎn)化，因?yàn)檫@是個(gè)等腰三角形，如果作一條底邊上的高，然后通過(guò)勾股定理以及一些有益的等量代換或許能解決。
解法1：作AD⊥BC于點(diǎn)D? ∵AB=AC，AD⊥BC，BD=CD∴BP·CP=（BD＋PD）（BD－PD）=BD2－PD2=（AB2－AD2）－（AP2－AD2）=AB2－AP2=72－52=24（㎝2）。
分析二：求兩條線段的積，我們會(huì)聯(lián)想到圓的相交弦定理，不妨考慮作個(gè)輔助圓，也許能行。
解法2：以A為圓心、AB為半徑作⊙A，過(guò)點(diǎn)A、P作直徑MN。由相交弦定理，得
BP·CP=PM·PN=（AP＋AM）（AN－AP）=（7＋5）（7－5）=24（㎝2）。
例2 如圖，⊙O1與⊙O2相交于A、B，直線CD過(guò)點(diǎn)B分別交⊙O1與⊙O2于C、D，M為
的中點(diǎn)，AM交⊙O1于E，交CD于F，連結(jié)CE、AD、DM。
（1）
?????? 求證：△CEF∽△AMD
（2）?????? 求證：
（3）?????? 若CB=5，BD=7，CF=2FD，AM=4MF，求MF和CE的長(zhǎng)。
分析：⑴要證明兩個(gè)三角形相似，條件中沒(méi)有給出線段的比例關(guān)系，因此，我們應(yīng)全力尋找兩個(gè)三角形中相等的角。因?yàn)檫@些角分置在兩個(gè)不同的圓內(nèi)，要將它們聯(lián)系起來(lái)，唯一的辦法是連結(jié)兩圓的公共弦AB。因?yàn)镸是
的中點(diǎn)，所以∠2=∠3， 又∠1=∠2，∴∠1=∠3。又∵∠4=∠3＋∠5，而∠3=∠2=∠6，∴∠4=∠6＋∠5=∠ADM。∴△CEF∽△AMD。
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⑵要求證的比例式形式復(fù)雜，一下子找不到平方關(guān)系。我們將與
成比例關(guān)系的線段找出來(lái)，然后看看能否得出求證式?！摺鱁CF∽△MDF，∴
，又∵△CEF∽△AMD∴
，∴
，即。?
⑶這里數(shù)量關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，必須進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，要求MF很容易聯(lián)想到圓冪定理：AF·MF=BF·FD。由已知條件知AF=3MF，還必須求出BF和FD?！逤D=CB＋BD=5＋7=12，CF=2FD，∴3FD=12，∴FD=4，CF=8，BF=3。將BF、FD代入圓冪定理的公式，得MF·3MF=3×4，∴MF=2。
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要求CE的長(zhǎng)，由⑵
，該比例式中MF=2，AM=4MF=8，要求出CE的長(zhǎng)，必須先求出EF的長(zhǎng)，∵△CEF∽△ABF，∴
，∴EF=
=4，代入中，得CE=8。?
學(xué)會(huì)分析，實(shí)質(zhì)上是學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)聯(lián)想。這些正是新課程所追求的理念，有一點(diǎn)必須搞清楚，世界上永遠(yuǎn)找不到分析的公式，或是供你套用的分析的方法，這些都是需要通過(guò)學(xué)習(xí)、練習(xí)、感悟、反思以后才能得到的。
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