何時(shí)菱形面積最大
湖北省安陸市洑水初中 王官清
菱形是特殊的平行四邊形，它具有很多特殊性。在研究其邊、角、對角線的性質(zhì)時(shí)，我們還經(jīng)常關(guān)注其面積。在引導(dǎo)學(xué)生如何在矩形內(nèi)作出面積最大的菱形問題時(shí)，學(xué)生由自負(fù)到疑惑到自信，實(shí)際上反映了學(xué)生對事物的認(rèn)識(shí)由膚淺到深刻的過程。下面是課堂部分實(shí)錄。
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問題的提出：
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有一塊長4m和寬3m的矩形土地，要在矩形土地上開辟一個(gè)最大的菱形花圃，請你試畫出這個(gè)圖形，并求出這個(gè)花圃的面積是多少。
問題的探究：
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課堂上提出這個(gè)問題后，同學(xué)們興高采烈，躍躍欲試，拿起筆在草稿紙上畫圖、分析、計(jì)算，不時(shí)還互相討論。巡視課堂，發(fā)現(xiàn)許多同學(xué)首先想到的是：作矩形的中點(diǎn)四邊形，即取矩形ABDC四邊的中點(diǎn)E、F、G、H，順次連接成四邊形，得到菱形EFGH，如圖1. 根據(jù)菱形的面積計(jì)算公式（菱形面積等于其對角線乘積的一半），不難計(jì)算出這個(gè)菱形的面積是6平方米（為矩形面積的一半）。大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為這就是此題的答案。
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教師點(diǎn)撥
：上述菱形的面積一定最大嗎？
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大多數(shù)學(xué)生聽到提出的這個(gè)問題，一開始瞪大眼睛不解地看著我，然后又開始觀察圖形進(jìn)行思考，動(dòng)筆畫圖，分析計(jì)算。
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經(jīng)過一段時(shí)間的思考，一個(gè)學(xué)生提出了一個(gè)新的想法：如圖2，作特殊的菱形（正方形）EFGH， 其邊長為矩形的寬3
，易計(jì)算其面積為9平方米。這個(gè)特殊的菱形的面積就比圖1中的菱形的面積大。這個(gè)方案也合乎題目要求。得到了大多數(shù)同學(xué)的認(rèn)可。
教師趁熱打鐵
：也許還能夠作出比圖2中菱形面積更大的菱形，我們不妨再深入的思考一下。
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有的學(xué)生認(rèn)為：不可能再有比圖2中菱形面積更大的情況了?。▽W(xué)生之間的討論和爭論開始熱烈起來）
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師：我們知道，菱形的面積等于菱形的對角線的積的一半。圖1 中菱形的對角線分別是4m和3m，圖2中菱形的對角線相等EG=FH=
。?
那么在矩形中還有不有可能作出的菱形的對角線比以上兩種情況更大的呢？
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學(xué)生：怎樣想辦法把圖1 中的菱形的對角線EG、FH變長一些？
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經(jīng)過思考，終于有學(xué)生自信的站起來，提出了如下新的想法：把圖1中兩條對角線同時(shí)繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，對角線FH的長度逐漸增大，EG也逐漸增大，當(dāng)菱形的對角線FH與矩形的對角線AD重合時(shí)，如圖3，對角線FH為最長了. 這時(shí)菱形EFGH的面積可以認(rèn)為是最大的情況。
這位同學(xué)的想法得到全班同學(xué)的掌聲。老師也贊許的微笑點(diǎn)頭。
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師：這位同學(xué)的想法值得肯定，他用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來分析問題非常好。
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事實(shí)上，上述問題中，我們可以發(fā)現(xiàn)菱形的任意一條對角線的長度
的取值范圍是
，我們可以通過幾何畫板演示給同學(xué)們觀察。圖1中，是菱形面積最小時(shí)的情況，當(dāng)菱形兩條對角線從圖1位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)，菱形面積達(dá)到最大。?
問題的解決：
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1. 圖3中菱形的面積的2種求法：
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方法1
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如圖3，菱形對角線FH與矩形對角線AD重合，
所以
，其中AB是個(gè)定值，考慮到
，則
，設(shè)FG的長為
，則BG=
，在直角三角形FGB中，根據(jù)勾股定理，有
，
，
(
)。?
方法2
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，根據(jù)勾股定理得FH=5m， 由方法1知FG=
， 在直角三角形ABG中，AO=
， AG=， ∴
，∴.
，所以上述問題的答案應(yīng)該是：菱形花圃的最大面積是
。?
2. 圖3中菱形面積一定最大嗎
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為什么圖3 是菱形面積最大的情況？下面給予簡略證明。
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矩形內(nèi)接菱形根據(jù)菱形頂點(diǎn)在矩形上位置的情況分為兩類情形：
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情形1 ??菱形有兩個(gè)頂點(diǎn)在矩形的同一邊上，如圖3-1
假設(shè)此時(shí)菱形的面積不小于圖3中菱形的面積，即
，?
過F作FM⊥AC于M，過H作HN⊥BD于N， 則HN=FM=AB=3。
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∴
，∴
∵FG=HG，∴
，∴
，即
，于是
，即FN≥4 . 結(jié)合圖3-1， 顯然這與FN<4矛盾。所以假設(shè)
不成立。?
情形2. 菱形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在矩形的四條邊上，如圖3-2.
作以
BC為對角線的菱形MBNC， 易證四邊形AFOE和四邊形ABOM四點(diǎn)共圓，∴∠OEF=∠OAB=∠OMB，∴
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。∵矩形ABCD上任意兩點(diǎn)之間的線段以對角線最長，∴
， 
，就是
， ∴
，∴
。∴
。?
故直角三角形EBO的面積大于直角三角形EFO的面積，從而菱形BNCM的面積大于菱形EFGH的面積。
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綜合上述兩種情況，可知矩形ABCD的內(nèi)接菱形的面積最大為
。?
教學(xué)反思：
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1.許多學(xué)生作出圖1的菱形后就以為大功告成，這是沒有認(rèn)真分析，深入探究造成的。平時(shí)教學(xué)應(yīng)該多引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成深入思考認(rèn)真探究問題的習(xí)慣，提高分析問題解決問題能力。
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2.學(xué)生對為什么圖3的情況是菱形面積最大的情形，關(guān)注不夠，說明學(xué)生對問題的思考缺乏應(yīng)有的深刻性。這也是數(shù)學(xué)教師教學(xué)過程中應(yīng)該特別注意的問題。
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