借助方程求解數(shù)軸上動點問題
湖北省黃石市下陸中學 宋毓彬
數(shù)軸上的動點問題離不開數(shù)軸上兩點之間的距離。為了便于初一年級學生對這類問題的分析，不妨先明確以下幾個問題：
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1．數(shù)軸上兩點間的距離，即為這兩點所對應的坐標差的絕對值，也即用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)的差。即數(shù)軸上兩點間的距離=右邊點表示的數(shù)—左邊點表示的數(shù)。
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2．點在數(shù)軸上運動時，由于數(shù)軸向右的方向為正方向，因此向右運動的速度看作正速度，而向作運動的速度看作負速度。這樣在起點的基礎上加上點的運動路程就可以直接得到運動后點的坐標。即一個點表示的數(shù)為a，向左運動b個單位后表示的數(shù)為a—b；向右運動b個單位后所表示的數(shù)為a+b。
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3．數(shù)軸是數(shù)形結合的產(chǎn)物，分析數(shù)軸上點的運動要結合圖形進行分析，點在數(shù)軸上運動形成的路徑可看作數(shù)軸上線段的和差關系。
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例1．已知數(shù)軸上有A、B、C三點，分別代表—24，—10，10，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點同時相向而行，甲的速度為4個單位/秒。
⑴問多少秒后，甲到A、B、C的距離和為40個單位？
⑵若乙的速度為6個單位/秒，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點同時相向而行，問甲、乙在數(shù)軸上的哪個點相遇？
⑶在⑴⑵的條件下，當甲到A、B、C的距離和為40個單位時，甲調頭返回。問甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎？若能，求出相遇點；若不能，請說明理由。
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分析：如圖1，易求得AB=14，BC=20，AC=34
⑴設x秒后，甲到A、B、C的距離和為40個單位。此時甲表示的數(shù)為—24+4x。
①甲在AB之間時，甲到A、B的距離和為AB=14
甲到C的距離為10—（—24+4x）=34—4x
依題意，14+（34—4x）=40，解得x=2
②甲在BC之間時，甲到B、C的距離和為BC=20，甲到A的距離為4x
依題意，20+4x）=40，解得x=5
即2秒或5秒，甲到A、B、C的距離和為40個單位。
⑵是一個相向而行的相遇問題。設運動t秒相遇。
依題意有，4t+6t=34，解得t=3.4
相遇點表示的數(shù)為—24+4×3.4=—10.4 （或：10—6×3.4=—10.4）
⑶甲到A、B、C的距離和為40個單位時，甲調頭返回。而甲到A、B、C的距離和為40個單位時，即的位置有兩種情況，需分類討論。
①甲從A向右運動2秒時返回。設y秒后與乙相遇。此時甲、乙表示在數(shù)軸上為同一點，所表示的數(shù)相同。甲表示的數(shù)為：—24+4×2—4y；乙表示的數(shù)為：10—6×2—6y
依題意有，—24+4×2—4y=10—6×2—6y，解得y=7
相遇點表示的數(shù)為：—24+4×2—4y=—44 （或：10—6×2—6y=—44）
②甲從A向右運動5秒時返回。設y秒后與乙相遇。甲表示的數(shù)為：—24+4×5—4y；乙表示的數(shù)為：10—6×5—6y
依題意有，—24+4×5—4y=10—6×5—6y，解得y=—8（不合題意，舍去）
即甲從A點向右運動2秒后調頭返回，能在數(shù)軸上與乙相遇，相遇點表示的數(shù)為—44。
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點評：分析數(shù)軸上點的運動，要結合數(shù)軸上的線段關系進行分析。點運動后所表示的數(shù)，以起點所表示的數(shù)為基準，向右運動加上運動的距離，即終點所表示的數(shù)；向左運動減去運動的距離，即終點所表示的數(shù)。
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例2．如圖，已知A、B分別為數(shù)軸上兩點，A點對應的數(shù)為—20，B點對應的數(shù)為100。
⑴求AB中點M對應的數(shù)；
⑵現(xiàn)有一只電子螞蟻P從B點出發(fā)，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發(fā)，以4個單位/秒的速度向右運動，設兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的C點相遇，求C點對應的數(shù)；
⑶若當電子螞蟻P從B點出發(fā)時，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發(fā)，以4個單位/秒的速度也向左運動，設兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的D點相遇，求D點對應的數(shù)。
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分析：⑴設AB中點M對應的數(shù)為x，由BM=MA
所以x—（—20）=100—x，解得 x=40?? 即AB中點M對應的數(shù)為40
⑵易知數(shù)軸上兩點AB距離，AB=140，設PQ相向而行t秒在C點相遇，
依題意有，4t+6t=120，解得t=12
（或由P、Q運動到C所表示的數(shù)相同，得—20+4t=100—6t，t=12）
相遇C點表示的數(shù)為：—20+4t=28（或100—6t=28）
⑶設運動y秒，P、Q在D點相遇，則此時P表示的數(shù)為100—6y，Q表示的數(shù)為—20—4y。P、Q為同向而行的追及問題。
依題意有，6y—4y=120，解得y=60
（或由P、Q運動到C所表示的數(shù)相同，得—20—4y=100—6y，y=60）
D點表示的數(shù)為：—20—4y=—260 （或100—6y=—260）
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點評：熟悉數(shù)軸上兩點間距離以及數(shù)軸上動點坐標的表示方法是解決本題的關鍵。⑵是一個相向而行的相遇問題；⑶是一個同向而行的追及問題。在⑵、⑶中求出相遇或追及的時間是基礎。
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例3．已知數(shù)軸上兩點A、B對應的數(shù)分別為—1，3，點P為數(shù)軸上一動點，其對應的數(shù)為x。
⑴若點P到點A、點B的距離相等，求點P對應的數(shù)；
⑵數(shù)軸上是否存在點P，使點P到點A、點B的距離之和為5？若存在，請求出x的值。若不存在，請說明理由？
⑶當點P以每分鐘一個單位長度的速度從O點向左運動時，點A以每分鐘5個單位長度向左運動，點B一每分鐘20個單位長度向左運動，問它們同時出發(fā)，幾分鐘后P點到點A、點B的距離相等？
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分析：⑴如圖，若點P到點A、點B的距離相等，P為AB的中點，BP=PA。
依題意，3—x=x—（—1），解得x=1
⑵由AB=4，若存在點P到點A、點B的距離之和為5，P不可能在線段AB上，只能在A點左側，或B點右側。
①P在點A左側，PA=—1—x，PB=3—x
依題意，（—1—x）+（3—x）=5，解得? x=—1.5
②P在點B右側，PA=x—（—1）=x+1，PB=x—3
依題意，（x+1）+（x—3）=5，解得? x=3.5
⑶點P、點A、點B同時向左運動，點B的運動速度最快，點P的運動速度最慢。故P點總位于A點右側，B可能追上并超過A。P到A、B的距離相等，應分兩種情況討論。
設運動t分鐘，此時P對應的數(shù)為—t，B對應的數(shù)為3—20t，A對應的數(shù)為—1—5t。
①B未追上A時，PA=PA，則P為AB中點。B在P的右側，A在P的左側。
PA=—t—（—1—5t）=1+4t，PB=3—20t—（—t）=3—19t
依題意有，1+4t=3—19t，解得 t=
②B追上A時，A、B重合，此時PA=PB。A、B表示同一個數(shù)。
依題意有，—1—5t=3—20t，解得? t=
即運動
或分鐘時，P到A、B的距離相等。?
點評：⑶中先找出運動過程中P、A、B在數(shù)軸上對應的數(shù)，再根據(jù)其位置關系確定兩點間距離的關系式，這樣就理順了整個運動過程。
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例4．點A1、A2、A3、……An（n為正整數(shù)）都在數(shù)軸上，點A1在原點O的左邊，且A1O=1，點A2在點A1的右邊，且A2A1=2，點A3在點A2的左邊，且A3A2=3，點A4在點A3的右邊，且A4A3=4，……，依照上述規(guī)律點A2008、A2009所表示的數(shù)分別為（????? ）。
A．2008，—2009?? B．—2008，2009 ??C．1004，—1005 ?D．1004，—1004
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分析：如圖，
點A1表示的數(shù)為—1；
點A2表示的數(shù)為—1+2=1；
點A3表示的數(shù)為—1+2—3=—2；
點A4表示的數(shù)為—1+2—3+4=2?? ……
點A2008表示的數(shù)為—1+2—3+4—……—2007+2008=1004
點A2009表示的數(shù)為—1+2—3+4—……—2007+2008—2009=1005
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點評：數(shù)軸上一個點表示的數(shù)為a，向左運動b個單位后表示的數(shù)為a—b；向右運動b個單位后所表示的數(shù)為a+b。運用這一特征探究變化規(guī)律時，要注意在循環(huán)往返運動過程中的方向變化。
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練習題：
1．已知數(shù)軸上A、B兩點對應數(shù)分別為—2，4，P為數(shù)軸上一動點，對應數(shù)為x。
⑴若P為線段AB的三等分點，求P點對應的數(shù)。
⑵數(shù)軸上是否存在P點，使P點到A、B距離和為10？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由。
⑶若點A、點B和P點（P點在原點）同時向左運動。它們的速度分別為1、2、1個單位長度/分鐘，則第幾分鐘時P為AB的中點？
（參考答案：⑴0或2；⑵—4或6；⑶2）
2．電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點K0，第一步從K0向左跳一個單位到K1，第二步由K1向右跳2個單位到K2，第三步由K2向左跳3個單位到K3，第四步由K3向右跳4個單位到K4……按以上規(guī)律跳了100步時，電子跳蚤落在數(shù)軸上的K100所表示的數(shù)恰是19.94。試求電子跳蚤的初始位置K0點表示的數(shù)。
（提示：設K0點表示的數(shù)為x，用含x的式子表示出K100所表示的數(shù)，建立方程，求得x=—30.06）
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作者簡介：宋毓彬，男，45歲，中學數(shù)學高級教師。在《中學數(shù)學教學參考》、《數(shù)理天地》、《中學生數(shù)學》、《數(shù)理化學習》、《數(shù)理化解題研究》、《中學課程輔導》、《語數(shù)外學習》、《數(shù)學周報》、《數(shù)學輔導報》、《數(shù)理報》、《少年智力開發(fā)報》、《學習報》、《小博士報》、《課程導報》等報刊發(fā)表教學輔導類文章80多篇。主要致力于初中數(shù)學中考及解題方法、技巧等教學方面的研究。
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