例析平面直角坐標系中三角形面積的求法
湖北省黃石市下陸中學 陳 勇
我們常常會遇到在平面直角坐標系中求三角形面積的問題.解題時我們要注意其中的解題方法和解題技巧.現(xiàn)舉例說明如下.
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一、有一邊在坐標軸上
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例1 如圖1，平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面積嗎？
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分析：根據(jù)三個頂點的坐標特征可以看出，△ABC的邊BC在y軸上，由圖形可得BC＝4，點A到BC邊的距離就是A點到y(tǒng)軸的距離，也就是A點橫坐標的絕對值3，然后根據(jù)三角形的面積公式求解.
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解：因為B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因為A(-3,0),所以A點到y(tǒng)軸的距離，即BC邊上的高為3，
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二、有一邊與坐標軸平行
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例2 如圖2，三角形ABC三個頂點的坐標分別為A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面積.
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分析：由A（4，1），B（4，5）兩點的橫坐標相同，可知邊AB與y軸平行，因而AB的長度易求.作AB邊上的高CD，則D點的橫坐標與A點的橫坐標相同，也是4，這樣就可求得線段CD的長，進而可求得三角形ABC的面積
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解：因為A，B兩點的橫坐標相同，所以邊AB∥y軸，所以AB=5-1=4. 作AB邊上的高CD，則D點的橫坐標為4，所以CD=4-（-1）=5，所以
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三、三邊均不與坐標軸平行
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例3 如圖2,平面直角坐標系中，已知點A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面積嗎？
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分析：由于三邊均不平行于坐標軸，所以我們無法直接求邊長，也無法求高，因此得另想辦法.根據(jù)平面直角坐標系的特點，可以將三角形圍在一個梯形或長方形中，這個梯形（長方形）的上下底（長）與其中一坐標軸平行，高（寬）與另一坐標軸平行.這樣，梯形（長方形）的面積容易求出，再減去圍在梯形（長方形）內(nèi)邊緣部分的直角三角形的面積，即可求得原三角形的面積.
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解：如圖，過點A、C分別作平行于y軸的直線，與過點B平行于x軸的直線交于點D、E，則四邊形ADEC為梯形.因為A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以
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（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.
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