2012中考數學考點 韋達定理

    巧用韋達定理的推論
    湖北省黃石市下陸中學　陳　勇
    
    韋達定理揭示了一元二次方程的兩根之和、之積與系數的關系，然而在學習中，我們經常還會遇到兩根之差、之比、平方和等問題，如果能將它們與系數建立起來關系，直接用這種關系來解題，豈不妙哉？下面是韋達定理的三個推論，它會給大家?guī)眢@喜．
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    推論一 設x₁、x₂是一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個實根，則。
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    推論二 設x₁、x₂是一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(ac≠0)的兩個實根，令,則。
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    推論三 設x₁、x₂是一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個實根，則。
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    利用上述推論來解題，顯得簡捷、明快、直觀，對提高同學們的解題能力很有幫助，下面舉例說明它們的應用．
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    　　一、求值
    例1 已知x₁、x₂為方程2x²＋2x－1＝0的二根，則|x₁－x₂|的值為____
    解: 由推論一，得：|x₁－x₂|=
    例2 設x₁、x₂是方程x²＋6x＋q＝0的兩根，且3x₁＋2x₂＝0，則q＝____．
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    解:由3x₁＋
    2x₂＝0，得?！∮赏普摱?，得：　∴q＝－216．
    例3 已知關于x的方程x²－(k＋1)x＋k＋2＝0的兩實根的平方和等于6，求k的值．
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    解 設方程x²－(k＋1)x＋k＋2＝0的兩根為x₁、x₂，
    ∴，由題意知k²－3＝6，∴k²＝9，k＝±3．
    由于當k＝3時，原方程無實根，∴k＝3應舍去．故k的值為－3．
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    　　二、求系數間的關系
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    例4 如果方程x²＋px＋q＝0的一根為另一根的2倍，那么p，q所滿足的關系式是____．
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    解：因為
    ，由推論二得，即。
    例5 方程x²＋px＋q＝0的兩根之差與x²＋qx＋p＝0的兩根之差相等，則p，q的關系式是____．????? (A)p＝q； (B)p＋q＝－4； (C)p＝q或p＋q＝－4； (D)無關．
    解 設方程x²+px+q=0的兩根為α，β，方程x²+qx+p=0的兩根為α′，β′，則
    ，。由題意得=，　
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    即(p－q)(p＋q＋4)＝0．∴p＝q或p＋q＝－4．故選(C)．
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    三、求最值
    例
    7 已知x₁、x₂是方程x²－(k－2)x＋(k²＋3k＋5)=0的兩個實數根(其中k為實數)，則的最大值是????????? 。
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    解：∵
    又∵△＝(k－2)²－4(k²＋3k＋5)≥0，
    即3k²＋16k＋16≤0，∴解得
    ∴當k=-4時，的最大值是18。
    
    

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