“實(shí)數(shù)的新運(yùn)算知識(shí)”例題解析
近年來，隨著新課標(biāo)的實(shí)行，中考試題愈加新穎和開放，愈加注重創(chuàng)新和應(yīng)用。有關(guān)實(shí)數(shù)運(yùn)算的創(chuàng)新題更是百花齊放，令人目不暇接，它們起點(diǎn)適中、形式新穎、視點(diǎn)獨(dú)特、凸顯能力。為幫助同學(xué)們熟悉新題型，迎接新挑戰(zhàn)，特采擷幾例典型題及運(yùn)算方法供同學(xué)們參考。
一. 開放型運(yùn)算
例1. 在下面兩個(gè)集合中各有一些實(shí)數(shù)，請(qǐng)你分別從中選出2個(gè)有理數(shù)和2個(gè)無理數(shù)，再用“+，-，×，÷”中的3種符號(hào)將選出的4個(gè)數(shù)進(jìn)行3次運(yùn)算，使得運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)正整數(shù)。
解析：根據(jù)運(yùn)算的條件和要求，本題答案不唯一，有多種組合的方式。如：
點(diǎn)評(píng)：本題是限制條件和要求、開放運(yùn)算和結(jié)論，它雖未在難度上著墨，但開放視角獨(dú)特，頗有新意，從解題到命題，體現(xiàn)出對(duì)靈活思維的要求，易激活學(xué)生的思維，給學(xué)生提供了自由發(fā)揮的廣闊的思維空間，值得重視。
二. 程序型運(yùn)算
例2. 有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原來如下：當(dāng)輸入的x為64時(shí)，輸出的y是( )
A. 8 B. C. D.
解析：根據(jù)運(yùn)算程序可知，當(dāng)輸入的x為64時(shí)，其算術(shù)平方根8是有理數(shù);于是再取8的算術(shù)平方根是無理數(shù)，故輸出的y是。本題選擇B。
點(diǎn)評(píng)：此類結(jié)構(gòu)主要是考查符號(hào)語言、圖象語言間的轉(zhuǎn)譯能力及推理運(yùn)算能力，解決它的關(guān)鍵是要準(zhǔn)確理解新程序的數(shù)學(xué)意義。
三. 估算型運(yùn)算
例3. 大家知道是一個(gè)無理數(shù)，那么在哪兩個(gè)整數(shù)之間( )
A. 1與2 B. 2與3 C. 3與4 D. 4與5
解析：，即，
。
顯然本題應(yīng)選擇A。
點(diǎn)評(píng)：對(duì)無理數(shù)作近似估算是新課標(biāo)所要求的，同學(xué)們必須掌握“估算法”這種解題方法，以便于在具體的實(shí)際問題能及時(shí)作出快速的處理。
四. 定義型運(yùn)算
例4. 在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則中我們補(bǔ)充定義新運(yùn)算“”如下：
當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，。則當(dāng)時(shí)，的值為___________(“·”和“-”仍為實(shí)數(shù)運(yùn)算中的乘號(hào)和減號(hào))。
解析：根據(jù)定義的新運(yùn)算，當(dāng)x=2時(shí)，
，故;
，因此
所以。
點(diǎn)評(píng)：解決這類定義新運(yùn)算的關(guān)鍵是理解新的運(yùn)算規(guī)則，并將它向已有知識(shí)的轉(zhuǎn)化;體現(xiàn)了新課程“知識(shí)立意向能力立意過渡”的要求，突出對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查。
五. 形數(shù)型運(yùn)算
例5. 數(shù)軸上表示1，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A、B，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為C，則點(diǎn)C所表示的數(shù)是( )
A. B.
C. D.
解析：不妨設(shè)點(diǎn)C所表示的數(shù)是x，由對(duì)稱性知道AC=AB，結(jié)合數(shù)軸有，解得。即點(diǎn)C所表示的數(shù)是。
點(diǎn)評(píng)：實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，本題“形”“數(shù)”結(jié)合，所反映的正是數(shù)學(xué)中的一種思想方法“數(shù)形結(jié)合”。
六. 操作型運(yùn)算
例6. 已知(n為正整數(shù))。當(dāng)時(shí)，有;請(qǐng)用計(jì)算器計(jì)算當(dāng)時(shí)，A、B的若干個(gè)值，并由此歸納出當(dāng)以時(shí)，A、B間的大小關(guān)系為_________。
解析：由計(jì)算器操作，當(dāng)以n=6時(shí)有;當(dāng)以時(shí)仍有，…。由此歸納出當(dāng)以時(shí)，A>B。
點(diǎn)評(píng)：這是一道考查學(xué)生正確使用計(jì)算器并作猜測(cè)、推斷的試題，引導(dǎo)學(xué)生邊操作邊思考，從而探尋并歸納A、B的大小關(guān)系，思維在不知不覺中得到展示如行云流水，層層推進(jìn)……
七. 規(guī)律型運(yùn)算
例7. 老師在黑板上寫出三個(gè)算式：，王華接著又寫了兩個(gè)具有同樣規(guī)律的算式：，…
(1)請(qǐng)你再寫出兩個(gè)(不同于上面算式)具有上述規(guī)律的算式;
(2)用文字寫出反映上述算式的規(guī)律;
(3)證明這個(gè)規(guī)律的正確性。
解析：(1)略。
(2)規(guī)律：任意兩個(gè)奇數(shù)的平方差等于8的倍數(shù);
(3)證明：設(shè)m，n為兩個(gè)整數(shù)，則兩個(gè)奇數(shù)可表示為和，則。
當(dāng)同是奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)，一定為偶數(shù)，所以一定是8的倍數(shù)。
當(dāng)一奇一偶時(shí)，則一定為偶數(shù)，所以一定是8的倍數(shù)。
所以任意兩個(gè)奇數(shù)的平方差為8的倍數(shù)。
點(diǎn)評(píng)：本題重在考查學(xué)生觀察問題、探究規(guī)律的思維能力。此類探究型試題對(duì)訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維進(jìn)而培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力大有裨益，規(guī)律探索型的試題在中考中備受青睞，希望同學(xué)們熟悉。掌握它。
八. 應(yīng)用型運(yùn)算
例8. 某單位需以“掛號(hào)信”或“特快專遞”方式向五所學(xué)校各寄一封信。這五封信的重量分別是72g、90g、215g、340g、400g。根據(jù)這五所學(xué)校的地址及信件的重量范圍，在郵局查得相關(guān)郵費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：
(1)重量為90g的信若以“掛號(hào)信”方式寄出，郵寄費(fèi)為多少元?若以“特快專遞”方式寄出呢?
(2)這五封信分別以怎樣的方式寄出最合算?請(qǐng)說明理由。
(3)通過解答上述問題，你有何啟示?(請(qǐng)你用一、兩句話說明)
解：(1)重量為90g的信以“掛號(hào)信”方式寄出，則郵寄費(fèi)為(元);
以“特快專遞”方式寄出，郵寄費(fèi)為(元)。
(2)∵這五封信的重量均小于1000g，
∴若以“特快專遞”方式寄出，郵寄費(fèi)為5+3+1=9(元)。
由(1)得知，重量為90g的信以“掛號(hào)信”方式寄出，費(fèi)用為7.5元小于9元;
∵72g<90g，
∴重量為72g的信以“掛號(hào)信”方式寄出小于9元。
若重量為215g的信以“掛號(hào)信”方式寄出，則郵寄費(fèi)為
(元)>9(元)，
，
∴重量為400g，340g的信以“掛號(hào)信”方式寄出，費(fèi)用均超過9元。
因此，將這五封信的前兩封以“掛號(hào)信”方式寄出，后三封以“特快專遞”方式寄出最合算。
(3)生活中到處都有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)是有用的，學(xué)好數(shù)學(xué)能方便于我們生活(只要合理就行)。
點(diǎn)評(píng)：新的課程標(biāo)準(zhǔn)更多地強(qiáng)調(diào)我們用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的問題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的生活化和生活的數(shù)學(xué)化。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們只有充分挖掘受數(shù)學(xué)在生活的原形，才能真正地理解數(shù)學(xué)，感受我們生活的世界是一個(gè)充滿數(shù)學(xué)的世界，從而更加熱愛生活，熱愛數(shù)學(xué)。
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