2012中考數(shù)學(xué)沖刺 一元一次方程

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學(xué)習(xí)目標(biāo)

    1.了解一元一次方程的概念,靈活運(yùn)用等式的基本性質(zhì)和移項(xiàng)法則解一元一次方程,會(huì)對(duì)方程的解進(jìn)行檢驗(yàn);
    
    2.通過(guò)對(duì)一元一次方程的解法步驟的靈活運(yùn)用,培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力;
    
    3.通過(guò)解方程的教學(xué),了解“未知”可以轉(zhuǎn)化為“已知”的思想.
    
    
     
    
    
知識(shí)講解

    一、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
    
    本節(jié)的重點(diǎn)是移項(xiàng)法則,一元一次方程的概念及其解法,難點(diǎn)是對(duì)一元一次方程解法步驟的靈活運(yùn)用.掌握移項(xiàng)要變號(hào)和去分母、去括號(hào)的方法是正確地解一元一次方程的關(guān)鍵.學(xué)習(xí)中應(yīng)注意以下幾點(diǎn):
    
        1.關(guān)于移項(xiàng).
    
        方程中的任何一項(xiàng)都可以在改變符號(hào)后,從方程的一邊移到另一邊,即可以把方程右邊的項(xiàng)改變符號(hào)后移到方程的左邊.也可以把方程左邊的項(xiàng)改變符號(hào)后移到方程的右邊.移項(xiàng)中常犯的錯(cuò)誤是忘記變號(hào).還要注意移項(xiàng)與在方程的一邊交換兩項(xiàng)的位置有本質(zhì)的區(qū)別.如果等號(hào)同一邊的項(xiàng)的位置發(fā)生變化,這些項(xiàng)不變號(hào),因?yàn)楦淖兡骋豁?xiàng)在多項(xiàng)式中的排列順序,是以加法交換律與給合律為根據(jù)的一種變形,但如果把某些項(xiàng)從等號(hào)的一邊移到另一邊時(shí),這些項(xiàng)都要變號(hào).
    
        2.關(guān)于去分母
    
        去分母就是根據(jù)等式性質(zhì)2在方程兩邊每一項(xiàng)都乘以分母的最小公倍數(shù).常犯錯(cuò)誤是漏乘不含有分母的項(xiàng).如把 變形為 這一項(xiàng)漏乘分母的最小公倍數(shù)6,為避勉這類錯(cuò)誤,解題時(shí)可多寫一步. 再用分配律展開.再一個(gè)容易錯(cuò)誤的地方是對(duì)分?jǐn)?shù)線的理解不全面.分?jǐn)?shù)線有兩層意義,一方面它是除號(hào),另一方面它又代表著括號(hào),所以在去分母時(shí),應(yīng)該將分子用括號(hào)括上,如上例提到的.
    
        3.關(guān)于去括號(hào).
    
        去括號(hào)易犯的錯(cuò)誤是括號(hào)前面是負(fù)號(hào),而去括號(hào)時(shí)忘記變號(hào);一個(gè)數(shù)乘以一個(gè)多項(xiàng)式,去括號(hào)時(shí)漏乘多項(xiàng)式的后面各項(xiàng).如 都是錯(cuò)誤的.
    
        4.解方程的思路:
    
    解一元一次方程實(shí)際上就是將一個(gè)方程利用等式的性質(zhì)進(jìn)行一系列的變形最終化為 的形式,然后再解 即可.
    
    二、知識(shí)結(jié)構(gòu)
    
 
 
 

    三、教法建議
    
    1.本小節(jié)開頭的兩個(gè)例子的目的是引入移項(xiàng)法則.移項(xiàng)法則不僅適用于解方程,而且
    
    適用于解不等式;不僅適用于移動(dòng)整式項(xiàng),而且適用于移動(dòng)有意義的非整式項(xiàng).因此說(shuō)移項(xiàng)法則是等式性質(zhì)1的推論不太合理.但對(duì)初一學(xué)生來(lái)說(shuō),用等式性質(zhì)1來(lái)引入移項(xiàng)法則是容易接受的.
    
        第一個(gè)例子是解方程 學(xué)生見到這種方程后,如果先想到用小學(xué)里學(xué)過(guò)的逆運(yùn)
    
    算的方法來(lái)求解,那么教師應(yīng)告訴學(xué)生,我們現(xiàn)在要學(xué)習(xí)一種新的解法,它能用來(lái)解較為復(fù)
    
    雜的方程,請(qǐng)大家先回憶在本教科書第一章中的解法,然后啟發(fā)學(xué)生根據(jù)等式性質(zhì)1來(lái)解這
    
    個(gè)方程.
    
    在分析方程 的解法過(guò)程中,教科書提出了移項(xiàng)法則,即方程左邊的項(xiàng)可以在改變符號(hào)后移到方程右邊;在分析方程 的解法過(guò)程中,教科書又提出方程右邊的項(xiàng)可以在改變符號(hào)后移到方程左邊.講完這兩個(gè)例子后,要引導(dǎo)學(xué)生歸納出移項(xiàng)法則——方程中的任何一項(xiàng),都可以在改變符號(hào)后,從方程的對(duì)邊移到另一邊.教學(xué)中可以利用教科書上的兩個(gè)圖來(lái)講移項(xiàng)法則,以幫助學(xué)生理解.
    
    2.①判定一個(gè)方程是不是一元一次方程,先將方程經(jīng)過(guò)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等變形.如果能化為最簡(jiǎn)形式 ,或標(biāo)準(zhǔn)形式 ,那么,它就是一元一次方程;否則,就不是一元一次方程.
    
        ②方程 ,只有當(dāng) 時(shí),才是一元一次方程;反之,如果明確指出方程 是一元一次方程,就隱含著已知條件 .
    
    3.①所移動(dòng)的是方程中的項(xiàng),并且是從方程的一邊移到另一邊,而不是在方程的一邊交換兩項(xiàng)的位置;
    
        ②移項(xiàng)時(shí)要變號(hào),不變號(hào)不能移項(xiàng).
    
    4.在定義了一元一次方程之后,教科書總結(jié)了解這類方程的一般步驟.這時(shí)要強(qiáng)調(diào)指出,由于方程的形式不同,在解方程時(shí)這五個(gè)步驟并不一定都要用到,并且也不一定完全按照這個(gè)順序.例如,教科書中本小節(jié)的例1、例2就沒(méi)有去括號(hào)的問(wèn)題,例3、例4沒(méi)有去分母的問(wèn)題;又例如,在解方程 時(shí),先移項(xiàng)比先去括號(hào)更為簡(jiǎn)便.因此對(duì)于解一元一次方程的一般步驟,要根據(jù)具體情況靈活運(yùn)用,不宜死套.另外還應(yīng)指出,在上述一般步驟中的第四步“合并同類項(xiàng)”,“把方程化成 的形式”是其中必不可少的一步,在教學(xué)中應(yīng)予以強(qiáng)調(diào).
    
    5.例7和例8是本小節(jié)最后一個(gè)小階段中的兩道例題.例7是稍為復(fù)雜的題目,在方程的分母中含有小數(shù).可以向?qū)W生說(shuō)明,通常將分母中的小數(shù)化成整數(shù),然后通過(guò)去分母等
    
    步驟來(lái)求解.另外,當(dāng)方程比較復(fù)雜時(shí),由于解題步驟較多,容易出錯(cuò),要求學(xué)生必須驗(yàn)根,檢驗(yàn)答案是否正確,但檢驗(yàn)不是必要步驟.
    
        8可看作解一元一次方程的一個(gè)應(yīng)用:在一個(gè)公式中,有一個(gè)字母表示未知數(shù),在其余字母都表示已知數(shù)時(shí)求這個(gè)未知數(shù)的值.這類問(wèn)題在實(shí)際應(yīng)用中和在學(xué)生以后學(xué)習(xí)物理、
    
    化學(xué)等課程時(shí),都經(jīng)常會(huì)遇到,因此在教學(xué)中要予以足夠的重視.
    
    
典型例題

    
    
    
    1 判斷下面的移項(xiàng)對(duì)不對(duì),如果不對(duì),應(yīng)怎樣改正?
    
    1)從 得到 ;
    
    2)從 得到 ;
    
    3)從 得到 ;
    
    4)從 得到 ;
    
    分析:判斷移項(xiàng)是否正確,關(guān)鍵看移項(xiàng)后的符號(hào)是否改變,一定要牢記“移項(xiàng)變號(hào)”.注意:沒(méi)有移動(dòng)的項(xiàng),符號(hào)不要改變;另外等號(hào)同一邊的項(xiàng)互相調(diào)換位置,這些項(xiàng)的符號(hào)不改變.
    
    解:1)不對(duì),等號(hào)左邊的7移到等號(hào)右邊應(yīng)改變符號(hào).正確應(yīng)為:
    
    2)對(duì).
    
    3)不對(duì).等號(hào)左端的-2移到等號(hào)右邊改變了符號(hào),但等號(hào)右邊的 移到等號(hào)左邊沒(méi)有改變等號(hào).正確應(yīng)為:
    
    4)不對(duì).等號(hào)右邊的 移到等號(hào)左邊,變?yōu)?/span> 是對(duì)的,但等號(hào)右邊的-2仍在等號(hào)的右邊沒(méi)有移項(xiàng),不應(yīng)變號(hào).正確應(yīng)為:
    
    2 解方程:
    
    1     2
    
    3 ;   4
    
    分析:本題都是簡(jiǎn)單的方程,只要根據(jù)等式的性質(zhì)2.把等號(hào)左邊未知的系數(shù)化為1,即可得到方程的解.
    
    解:1)把 的系數(shù)化為1,根據(jù)等式的性質(zhì)2.在方程兩邊同時(shí)除以3得,
    
    檢驗(yàn) 左邊 ,右邊
    
        左邊=右邊.
    
    所以 是原方程的解.
    
    2)把 的系數(shù)化為1,根據(jù)等式的性質(zhì)2,在方程兩邊同時(shí)除以4得,
    
    檢驗(yàn):左邊 ,右邊=2,
    
    左邊=右邊
    
    所以 是原方程的解.
    
    3)把 的系數(shù)化為1.根據(jù)等式性質(zhì)2,在方程的兩邊同時(shí)乘以 得,
    
    
    
    
    
    檢驗(yàn),左邊
    
    右邊
    
    左邊=-右邊,
    
    所以 是原方程的解;
    
    4)把 的系數(shù)化為1,根據(jù)等式的性質(zhì)2,在方程兩邊同時(shí)乘以-2得:
    
    
    
    
    
    檢驗(yàn):左邊 ,右邊 ,
    
    左邊=右邊.
    
    所以 是原方程的解.
    
    說(shuō)明: ①在應(yīng)用等式的性質(zhì)2把未知數(shù)的系數(shù)化為1時(shí),什么情況適宜用“乘”,什么情況下適宜用“除”,要根據(jù)未知數(shù)的系數(shù)而定.一般情況來(lái)說(shuō).當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)是整數(shù)時(shí),適宜用除;當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)是分?jǐn)?shù)(或小數(shù))適宜用乘.(乘以未知數(shù)系數(shù)的倒數(shù)).②要養(yǎng)成進(jìn)行檢驗(yàn)的習(xí)慣,但檢驗(yàn)可不必書面寫出.
    
    3 解方程:
    
    1 ;     2
    
    3 ;        4
    
    分析: 解方程的思路是將已知方程通過(guò)一系列變形化為最簡(jiǎn)方程 的形式,也就是說(shuō)把 作為已知方程變形的目標(biāo).因此,要把已知方程轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)化,就要把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到等號(hào)的一邊,常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的另一端.
    
    解法一:1)移項(xiàng),得:
    
    
    
    合并同類項(xiàng),得:
    
    2)移項(xiàng),得
    
    合并同類項(xiàng),得     ,
    
    系數(shù)化成1,得, 
    
    解法二:移項(xiàng),得,
    
                       ,
    
    合并同類項(xiàng),得:
    
    
    
    系數(shù)化為1,得,
    
                      
    
    3)移項(xiàng),得:
    
                      
    
    合并同類項(xiàng),得
    
                       
    
    系數(shù)化為1,得
    
                     
    
    4)移項(xiàng),得:
    
                      
    
    合并同類項(xiàng),得,
    
                       
    
    系數(shù)化為1,得
    
                         
    
    說(shuō)明:第(2)題采用了兩種不同的移項(xiàng)方法,目的都是將未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)的一端,已知數(shù)移到等號(hào)另一端,事實(shí)上,其它的題目也都可以采用不同的移項(xiàng)方法,要根據(jù)題目的特點(diǎn),尋找簡(jiǎn)捷的移項(xiàng)方法.
    
    4 解方程:
    
    1 ;
    
    2
    
    分析:為了把已知方程化為最簡(jiǎn)方程 的形式,首先要去括號(hào),然后再作其它變形.
    
    解:1)去括號(hào),得:
    
    
    
    移項(xiàng),得:
    
    
    
    合并同類項(xiàng),得
    
                     
    
    系數(shù)化成1,得  
    
    說(shuō)明: ①用分配律去括號(hào)時(shí),不要漏乘括號(hào)中的項(xiàng),并且不要搞錯(cuò)符號(hào);② 不是方程的解,必須把 系數(shù)化為1,得 才算完成了解方程過(guò)程.
    
    2)去小括號(hào):
    
                  
    
      合并括號(hào)里的同類項(xiàng),得:
    
                    ,
    
    去中括號(hào),得:
    
                  
    
    合并同類項(xiàng),得:
    
                       
    
    移項(xiàng),得
    
    
    
    說(shuō)明: 方程中有多重括號(hào)時(shí),一般應(yīng)按先去小括號(hào),再去中括號(hào),再去大括號(hào)的方法去括號(hào),每去一層括號(hào)合并同類項(xiàng)一次,以簡(jiǎn)便運(yùn)算.
    
    5 解方程:
    
    1 ;       2
    
    分析: 方程中含有分母,應(yīng)根據(jù)等式的性質(zhì)2,方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù),從而去掉分母,然后再作其它變形.
    
    解:1)方程兩邊都乘以4,去分母,得:
    
    
    
     ,
    
    移項(xiàng),得:
    
     ,
    
    合并同類項(xiàng),得:
    
     ,
    
    系數(shù)化成1,得:
    
                               
    
    2)方程兩邊都乘以12,去分母,得:
    
    
    
    
    
    去括號(hào),得:
    
                      
    
    移項(xiàng),得:
    
                        ,
    
    合并同類項(xiàng),得:
    
                    
    
    系數(shù)化成1,得:
    
                    
    
    說(shuō)明: ①去分母所選的乘數(shù)應(yīng)是所有分母的最小公倍數(shù),不應(yīng)遺漏;
    
    ②用分母的最小公倍數(shù)去乘方程的兩邊時(shí),不要遺漏掉等號(hào)兩邊不含分母的項(xiàng).如(2)題的“1”.
    
    ③去掉分母以后,分?jǐn)?shù)線也同時(shí)去掉,分子上的多項(xiàng)式用括號(hào)括起來(lái)(當(dāng)式子前是正號(hào)時(shí),可省略括號(hào)).                      
    
    6 解方程:(1 ;
    
    2
    
    解:1)移項(xiàng),得:
    
                  
    
    合并同類項(xiàng),得:
    
     ,
    
    移項(xiàng),得
    
                  
    
    合并同類項(xiàng),得:
    
                    
    
    2)先去中括號(hào)得:
    
                     
    
    去小括號(hào),得:
    
     ,
    
    移項(xiàng),得:
    
     ,
    
    合并同類項(xiàng),得:
    
                      ,
    
    系數(shù)化成1,得:
    
                 
    
       說(shuō)明: 在解方程時(shí),要注意分析方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),有針對(duì)性地確定解題方案,靈活地安排解題步驟.
    
    7 已知關(guān)于 的方程 的根是2,求 的值.
    
    解法一:因?yàn)?/span> 是方程 的根,所以 代入方程左右兩邊一定相等,即:
    
     ,
    
    解這個(gè)以 為未知數(shù)的方程,得:
    
    
    
    
    
    解法二:把原方程看作以 為未知數(shù)的一元一次方程, 看作已知數(shù)求解;
    
    
    
    
    
    
    
                            
    
                                                
    
     代入上式,得:
    
    
    
    說(shuō)明: 解法一是利用方程解的概念,將 代入原方程,使原方程轉(zhuǎn)化為以 為未知數(shù)的一元一次方程,從而求出
    
    解法二是將原方程直接看成以 為未知數(shù)的一元一次方程,解出 用字母 的代數(shù)式表示,再將 代入代數(shù)式中求得
    
    * 8  甲、乙兩工程隊(duì)共有100人,甲隊(duì)人數(shù)比己隊(duì)人數(shù)的3倍少20人.求甲、乙兩隊(duì)各有多少人?
    
        分析:題中已知甲、乙兩工程隊(duì)共有100人,由此可知等量關(guān)系為:
    
        甲隊(duì)人數(shù)十動(dòng)隊(duì)人數(shù)=甲、乙兩隊(duì)總?cè)藬?shù).
    
    設(shè)乙隊(duì)人數(shù)為x人,再分析上述相等關(guān)系中的左右兩邊,可得下表:
    

    左邊
    

    右邊
    

    甲隊(duì)人數(shù)( )人
    
    乙隊(duì)人數(shù)
    

    甲、 乙兩工程隊(duì)
    
    共有100
    

    有了這個(gè)表,方程就不難列出來(lái)了.
    
    解:設(shè)乙隊(duì)有 人,則甲隊(duì)有
    
    根據(jù)題意,得
    
       
    
    解這個(gè)方程,得
    
    答:甲隊(duì)有70人;乙隊(duì)有30人.
    
    說(shuō)明:1)先弄清題意,找出相等關(guān)系,再按照相等關(guān)系來(lái)選擇未知數(shù)和列代數(shù)式,比先設(shè)未知數(shù),再列出含有未知數(shù)的代數(shù)式,再找相等關(guān)系更為合理.
    
    2)所列方程兩邊的代數(shù)式的意義必須一致,單位要統(tǒng)一,數(shù)量關(guān)系一定要相等.
    
    3)要養(yǎng)成“驗(yàn)”的好習(xí)慣.即所求結(jié)果要使實(shí)際問(wèn)題有意義.
    
    4)不要漏寫“答”.“設(shè)”和“答”都不要丟掉單位名稱.
    
    5)分析過(guò)程可以只寫在草稿紙上,但一定要認(rèn)真.
    
    
    
    

    

    
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