4.溶液（混合物）問題
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溶液（混合物）問題有四個基本量：溶質(zhì)（純凈物）、溶劑（雜質(zhì)）、溶液（混合物）、濃度（含量）。其關(guān)系式為：①溶液=溶質(zhì)+溶劑（混合物=純凈物+雜質(zhì)）；②濃度=
×100％=
×100％【純度（含量）=
×100％=
×100％】；③由①②可得到：溶質(zhì)=濃度×溶液=濃度×（溶質(zhì)+溶劑）。在溶液問題中關(guān)鍵量是“溶質(zhì)”：“溶質(zhì)不變”，混合前溶質(zhì)總量等于混合后的溶質(zhì)量，是很多方程應(yīng)用題中的主要等量關(guān)系。?
例11.把1000克濃度為80％的酒精配成濃度為60％的酒精，某同學(xué)未經(jīng)考慮先加了300克水。⑴試通過計算說明該同學(xué)加水是否過量？⑵如果加水不過量，則應(yīng)加入濃度為20％的酒精多少克？如果加水過量，則需再加入濃度為95％的酒精多少克？
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講評：溶液問題中濃度的變化有稀釋（通過加溶劑或濃度低的溶液，將濃度高的溶液的濃度降低）、濃化（通過蒸發(fā)溶劑、加溶質(zhì)、加濃度高的溶液，將低濃度溶液的濃度提高）兩種情況。在濃度變化過程中主要要抓住溶質(zhì)、溶劑兩個關(guān)鍵量，并結(jié)合有關(guān)公式進行分析，就不難找到相等關(guān)系，從而列出方程。
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本題中，⑴加水前，原溶液1000克，濃度為80％，溶質(zhì)（純酒精）為1000×80％克；設(shè)加x克水后，濃度為60％，此時溶液變?yōu)椋?000+x）克，則溶質(zhì)（純酒精）為（1000+x）×60％克。由加水前后溶質(zhì)未變，有（1000+x）×60％=1000×80％
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????? ∴x =
＞300???? ∴該同學(xué)加水未過量。?
⑵設(shè)應(yīng)加入濃度為20％的酒精y克，此時總?cè)芤簽椋?000+300+y）克，濃度為60％，溶質(zhì)（純酒精）為（1000+300+y）×60％；原兩種溶液的濃度分別為1000×80％、20％y，由混合前后溶質(zhì)量不變，有（1000+300+y）×60％=1000×80％+20％?? ∴ y=50
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5.數(shù)字問題
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數(shù)字問題是常見的數(shù)學(xué)問題。一元一次方程應(yīng)用題中的數(shù)字問題多是整數(shù)，要注意數(shù)位、數(shù)位上的數(shù)字、數(shù)值三者間的關(guān)系：任何數(shù)=∑（數(shù)位上的數(shù)字×位權(quán)），如兩位數(shù)
=10a+b；三位數(shù)
=100a+10b+c。在求解數(shù)字問題時要注意整體設(shè)元思想的運用。?
例12. 一個三位數(shù)，三個數(shù)位上的和是17，百位上的數(shù)比十位上的數(shù)大7，個位上的數(shù)是十位上的數(shù)的3倍。求這個數(shù)。
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講評：設(shè)這個數(shù)十位上的數(shù)字為x，則個位上的數(shù)字為3x，百位上的數(shù)字為（x+7），這個三位數(shù)則為100（x+7）+10x+3x。依題意有（x+7）+x+3x=17? ∴x=2
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∴100（x+7）+10x+3x=900+20+6=926
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例13. 一個六位數(shù)的最高位上的數(shù)字是1，如果把這個數(shù)字移到個位數(shù)的右邊，那么所得的數(shù)等于原數(shù)的3倍，求原數(shù)。
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講評：這個六位數(shù)最高位上的數(shù)移到個位后，后五位數(shù)則相應(yīng)整體前移1位，即每個數(shù)位上的數(shù)字被擴大10倍，可將后五位數(shù)看成一個整體設(shè)未知數(shù)。設(shè)除去最高位上數(shù)字1后的5位數(shù)為x，則原數(shù)為10
+x，移動后的數(shù)為10x+1，依題意有? 10x+1=10+x?
???????? ???∴x = 42857???????? 則原數(shù)為142857
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6.調(diào)配（分配）與比例問題
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調(diào)配與比例問題在日常生活中十分常見，比如合理安排工人生產(chǎn)，按比例選取工程材料，調(diào)劑人數(shù)或貨物等。調(diào)配問題中關(guān)鍵是要認識清楚部分量、總量以及兩者之間的關(guān)系。在調(diào)配問題中主要考慮“總量不變”；而在比例問題中則主要考慮總量與部分量之間的關(guān)系，或是量與量之間的比例關(guān)系。
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例14.甲、乙兩書架各有若干本書，如果從乙架拿100本放到甲架上，那么甲架上的書比乙架上所剩的書多5倍，如果從甲架上拿100本書放到乙架上，兩架所有書相等。問原來每架上各有多少書？
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講評：本題難點是正確設(shè)未知數(shù)，并用含未知數(shù)的代數(shù)式將另一書架上書的本數(shù)表示出來。在調(diào)配問題中，調(diào)配后數(shù)量相等，即將原來多的一方多出的數(shù)量進行平分。由題設(shè)中“從甲書架拿100本書到乙書架，兩架書相等”，可知甲書架原有的書比乙書架上原有的書多200本。故設(shè)乙架原有x本書，則甲架原有（x+200）本書。從乙架拿100本放到甲架上，乙架剩下的書為（x－100）本，甲架書變?yōu)椋▁+200）+100本。又甲架的書比乙架多5倍，即是乙架的六倍，有????? （x+200）+100=6（x－100） ∴x=180???? x+200=380
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例15.教室內(nèi)共有燈管和吊扇總數(shù)為13個。已知每條拉線管3個燈管或2個吊扇，共有這樣的拉線5條，求室內(nèi)燈管有多少個？
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講評：這是一道對開關(guān)拉線的分配問題。設(shè)燈管有x支，則吊扇有（13－ｘ）個，燈管拉線為
條，吊扇拉線為
條，依題意“共有５條拉線”，有+＝５∴x=9?
例16.某車間22名工人參加生產(chǎn)一種螺母和螺絲。每人每天平均生產(chǎn)螺絲120個或螺母200個，一個螺絲要配兩個螺母，應(yīng)分配多少名工人生產(chǎn)螺絲，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)的產(chǎn)品剛好配套？
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講評：產(chǎn)品配套（工人調(diào)配）問題，要根據(jù)產(chǎn)品的配套關(guān)系（比例關(guān)系）正確地找到它們間得數(shù)量關(guān)系，并依此作相等關(guān)系列出方程。本題中，設(shè)有x名工人生產(chǎn)螺母，生產(chǎn)螺母的個數(shù)為200x個，則有（22－x）人生產(chǎn)螺絲，生產(chǎn)螺絲的個數(shù)為120（22－x）個。由“一個螺絲要配兩個螺母”即“螺母的個數(shù)是螺絲個數(shù)的2倍”，有???? 200x=2×120（22－x）
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?∴x=12???? 22－x=10
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例17. 地板磚廠的坯料由白土、沙土、石膏、水按25∶2∶1∶6的比例配制攪拌而成?，F(xiàn)已將前三種料稱好，公5600千克，應(yīng)加多少千克的水攪拌？前三種料各稱了多少千克？
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講評：解決比例問題的一般方法是：按比例設(shè)未知數(shù)，并根據(jù)題設(shè)中的相等關(guān)系列出方程進行求解。本題中，由四種坯料比例25∶2∶1∶6，設(shè)四種坯料分別為25x、2x、x、6x千克，由前三種坯料共5600千克，有? 25x+2x+x=5600
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∴ x=200 25x=5000?????????????????? 2x=400?? x=200?? 6x=1200?
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例18. 蘋果若干個分給小朋友，每人m個余14個，每人9個，則最后一人得6個。問小朋友有幾人？
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講評：這是一個分配問題。設(shè)小朋友x人，每人分m個蘋果余14個，蘋果總數(shù)為mx+14，每人9個蘋果最后一人6個，則蘋果總數(shù)為9（x－１）+６。蘋果總數(shù)不變，有
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mx+14＝9（x－１）+６ ∴ｘ＝
∵x、m均為整數(shù) ∴9－ｍ＝１?。剑保?/span>?
例19. 出口1噸豬肉可以換5噸鋼材，7噸豬肉價格與4噸砂糖的價格相等，現(xiàn)有288噸砂糖，把這些砂糖出口，可換回多少噸鋼材？
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講評：本題可轉(zhuǎn)換成一個比例問題。由豬肉∶鋼材=1∶5，豬肉∶砂糖=7∶4，得豬肉∶鋼材∶砂糖=7∶35∶4，設(shè)可換回鋼材x噸，則有??? x∶288=35∶4??? ∴x=2620
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7.需設(shè)中間（間接）未知數(shù)求解的問題
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一些應(yīng)用題中，設(shè)直接未知數(shù)很難列出方程求解，而根據(jù)題中條件設(shè)間接未知數(shù)，卻較容易列出方程，再通過中間未知數(shù)求出結(jié)果。
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例
20.甲、乙、丙、丁四個數(shù)的和是43，甲數(shù)的2倍加8，乙數(shù)的3倍，丙數(shù)的4倍，丁數(shù)的5倍減去4，得到的4個數(shù)卻相等。求甲、乙、丙、丁四個數(shù)。
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講評：本題中要求4個量，在后面可用方程組求解。若用一元一次方程求解，如果設(shè)某個數(shù)為未知數(shù)，其余的數(shù)用未知數(shù)表示很麻煩。這里由甲、乙、丙、丁變化后得到的數(shù)相等，故設(shè)這個相等的數(shù)為x，則甲數(shù)為
，乙數(shù)為，丙數(shù)為
，丁數(shù)為
，由四個數(shù)的和是43，有 ???+++=43??????? ∴x = 36?
?∴?
=14????? =12??????? =9??????? =8?
例21.某縣中學(xué)生足球聯(lián)賽共賽10輪（即每隊均需比賽10場），其中勝1場得3分，平1場得1分，負1場得0分。向明中學(xué)足球隊在這次聯(lián)賽中所負場數(shù)比平場數(shù)少3場，結(jié)果公得19分。向明中學(xué)在這次聯(lián)賽中勝了多少場？
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講評：本題中若直接將勝的場次設(shè)為未知數(shù)，無法用未知數(shù)的式子表示出負的場數(shù)和平的場數(shù)，但設(shè)平或負的場數(shù)，則可表示出勝的場數(shù)。故設(shè)平
x場，則負x－3場，勝10－（ｘ+ｘ－３）場，依題意有 3[10－（x+x－3）]+x=19? ∴x=4? ∴ 10－（ｘ+ｘ－３）=5
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8.設(shè)而不求（設(shè)中間參數(shù)）的問題
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一些應(yīng)用題中，所給出的已知條件不夠滿足基本量關(guān)系式的需要，而且其中某些量不需要求解。這時，我們可以通過設(shè)出這個量，并將其看成已知條件，然后在計算中消去。這將有利于我們對問題本質(zhì)的理解。
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例22.一艘輪船從重慶到上海要5晝夜，從上海駛向重慶要7晝夜，問從重慶放竹牌到上海要幾晝夜？（竹排的速度為水的流速）
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分析：航行問題要抓住路程、速度、時間三個基本量，一般有兩種已知量才能求出第三種未知量。本題中已知時間量，所求也是時間量，故需在路程和速度兩個量中設(shè)一個中間參數(shù)才能列出方程。本題中考慮到路程量不變，故設(shè)兩地路程為a公里，則順水速度為
，逆水速度為
，設(shè)水流速度為x，有－ｘ＝+ｘ ∴ｘ＝
，又設(shè)竹排從重慶到上海的時間為y晝夜，有?? ·x=a?? ∴x=35?
例23. 某校兩名教師帶若干名學(xué)生去旅游，聯(lián)系兩家標價相同的旅行社，經(jīng)洽談后，甲旅行社的優(yōu)惠條件是：1名教師全部收費，其余7．5折收費；乙旅行社的優(yōu)惠條件是：全部師生8折優(yōu)惠。
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⑴當學(xué)生人數(shù)等于多少人時，甲旅行社與乙旅行社收費價格一樣？
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⑵若核算結(jié)果，甲旅行社的優(yōu)惠價相對乙旅行社的優(yōu)惠價要便宜
，問學(xué)生人數(shù)是多少？?
講評：在本題中兩家旅行社的標價和學(xué)生人數(shù)都是未知量，又都是列方程時不可少的基本量，但標價不需求解。⑴中設(shè)標價為a元，學(xué)生人數(shù)x人，甲旅行社的收費為a+0.75a（x+1）元，乙旅行社收費為0.8a（x+2）元，有??? a+0.75a（x+1）=0.8a（x+2）??? ∴ x=3
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⑵中設(shè)學(xué)生人數(shù)為y人，甲旅行社收費為a+0.75a（x+1）元，乙旅行社收費為0.8a（x+2）元，有? 0.8a（x+2）－［a+0.75a（x+1）］＝
×0.8a（x+2） ∴x=8。| 中考政策 | 中考狀元 | 中考飲食 | 中考備考輔導(dǎo) | 中考復(fù)習(xí)資料 |