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考研數(shù)學(xué)隨機(jī)變量復(fù)習(xí)
讓我們思考一個(gè)問題：用什么方式去描述隨機(jī)變量?隨機(jī)變量有兩個(gè)要素：取值和取值對(duì)應(yīng)的概率。而分布是描述隨機(jī)變量的方式。分布包括三種：分布函數(shù)，分布律和概率密度。為什么要有三種，這么麻煩，一種多簡(jiǎn)單?這就像現(xiàn)金可以完成支付，為什么還會(huì)有公交卡?因?yàn)槲覀冏粫r(shí)刷卡更方便些。分布函數(shù)確實(shí)可以描述所有隨機(jī)變量，但對(duì)于離散型隨機(jī)變量，用分布律描述較為方便;對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，用概率密度描述較為方便。
分布函數(shù)是描述隨機(jī)變量的通用方式。對(duì)于隨機(jī)變量X，我們稱F(x)=P{X<=x}，(x屬于R)為其分布函數(shù)。關(guān)于分布函數(shù)，前文我們討論過一種理解角度，此外，我們還可以從以下幾個(gè)角度理解。
1.F(x)=P{X<=x}= P{X屬于(負(fù)無窮，x]}，意味著X的分布函數(shù)F(x)是隨機(jī)變量X落入?yún)^(qū)間(負(fù)無窮，x]的概率。
2.對(duì)于上面用擲硬幣這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)定義的隨機(jī)變量X，大家動(dòng)手寫一下它的分布函數(shù)，不難得到如下結(jié)果：當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)=0;當(dāng)0==1時(shí)，F(xiàn)(x)=1。我們看一下F(x)的三個(gè)函數(shù)值是如何得到的：當(dāng)x<0時(shí)，X在x以左沒有取值，所以概率為0，進(jìn)而F(x)的函數(shù)值為0;當(dāng)0==1時(shí)，X的取值0和1在此范圍內(nèi)，所以分布函數(shù)把0和1對(duì)應(yīng)的概率含進(jìn)去，F(xiàn)(x)的函數(shù)值為1/2+1/2=1。通過以上分析過程，我們可以得到，離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)可以理解成“概率的累加”，累加的是X落入?yún)^(qū)間(負(fù)無窮，x]的概率。另外，大家動(dòng)手畫一下F(x)的圖像，觀察其形狀，會(huì)發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)階梯形函數(shù)。那么是否所有離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)都是階梯形函數(shù)呢?是。大家也可以想想為什么如此?分布函數(shù)累加的是(負(fù)無窮，x]概率，在隨機(jī)變量有取值的點(diǎn)，分布函數(shù)把該點(diǎn)的概率加進(jìn)去，函數(shù)圖像就在該點(diǎn)發(fā)生跳躍，跳躍的高度恰為隨機(jī)變量取該點(diǎn)的概率;在隨機(jī)變量沒有取值的區(qū)間，沒有概率，分布函數(shù)的函數(shù)值沒有增加，函數(shù)圖像為一條水平的線段(或射線)。
3.隨機(jī)變量X不是高數(shù)中的函數(shù)，那么其分布函數(shù)是高數(shù)中的函數(shù)嗎?是。我們觀察上面寫出的分布函數(shù)的表達(dá)式和圖像，會(huì)發(fā)現(xiàn)它就是一個(gè)普通的分段函數(shù)，是高數(shù)的中的函數(shù)。
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