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高考數(shù)學(xué)模擬試題及答案：數(shù)列
1．(2015·四川卷)設(shè)數(shù)列{
an}(n＝1,2,3，…)的前n項和Sn滿足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列。
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)記數(shù)列an(1)的前n
項和為Tn，求使得|Tn－1|<1 000(1)成立的n的最小值。
解 (1)由已知Sn＝
2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)。
從而
a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1。
又因為a1，
a2＋1，a3成等差數(shù)列，
即a
1＋a3＝2(a2＋1)。
所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2。
所以，數(shù)列{an}是首項為
2，公比為2的等比數(shù)列。
故an
＝2n。
(2)
由(1)得an(1)＝2n(1)。
所以Tn
＝2(1)＋22(1)＋…＋2n(1)＝2(1)＝1－2n(1)。
由
|Tn－1|<1 000(1)，得－1(1)<1 000(1)，
即2n>1 000。
因為29＝512<1 000<1 024＝210
，所以n≥10。
于是，使|Tn－
1|<1 000(1)成立的n的最小值為10。
2．(2015·山東卷)設(shè)數(shù)列{a
n}的前n項和為Sn。已知2Sn＝3n＋3。
(1)求{a
n}的通項公式；
(2)若數(shù)列{b
n}滿足anbn＝log3an，求{bn}的前n項和Tn。
解 (1)因為
2Sn＝3n＋3，所以2a1＝3＋3，故a1＝3，
當(dāng)n>1時，2Sn－1＝3n－1＋3，
此時2an
＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即an＝3n－1，
又因為
n＝1時，不滿足上式，所以an＝3n－1，n>1。(3，n＝1，)
(2)因為a
nbn＝log3an，所以b1＝3(1)，
當(dāng)n>1時，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n。
所以T1＝
b1＝3(1)；
當(dāng)n>1時，T
n＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝3(1)＋(1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n)，
所以3Tn
＝1＋(1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×32－n)，
兩式相減，得2Tn＝
3(2)＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n＝3(2)＋1－3－1(1－31－n)－(n－1)×31－n＝6(13)－2×3n(6n＋3)，所以Tn＝12(13)－4×3n(6n＋3)。經(jīng)檢驗，n＝1時也適合。
綜上可得T
n＝12(13)－4×3n(6n＋3)。
3.(2015·
天津卷)已知數(shù)列{an}滿足an＋2＝qan(q為實數(shù)，且q≠1)，n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差數(shù)列。
(1)求q的值和{an
}的通項公式；
(2)設(shè)bn
＝a2n－1(log2a2n)，n∈N*，求數(shù)列{bn}的前n項和。
解 (1)
由已知，有(a3＋a4)－(a2＋a3)＝(a4＋a5)－(a3＋a4)，即a4－a2＝a5－a3，
所以a
2(q－1)＝a3(q－1)。又因為q≠1，故a3＝a2＝2，由a3＝a1·q，得q＝2。
當(dāng)n＝2k－1(k∈N*)時，an＝a2k－1＝2k－1＝22(n－1)；
當(dāng)n
＝2k(k∈N*)時，an＝a2k＝2k＝22(n)。
所以，{an
}的通項公式為an＝，n為偶數(shù)。(n)
(2)由(1)得b
n＝a2n－1(log2a2n)＝2n－1(n)。設(shè){bn}的前n項和為Sn，則Sn＝1×20(1)＋2×21(1)＋3×22(1)＋…＋(n－1)×2n－2(1)＋n×2n－1(1)，
2(1)Sn＝1×21(1)＋2×22(1)＋3×23(1)＋…＋(n－1)×2n－1(1)＋n×2n(1)，
上述兩式相減，得2(1)Sn
＝1＋2(1)＋22(1)＋…＋2n－1(1)－2n(n)＝2(1)－2n(n)＝2－2n(2)－2n(n)，
整理得，Sn＝4－2n－1(n＋2)。
所以，數(shù)列{b
n}的前n項和為4－2n－1(n＋2)，n∈N*。
4．(2015·
合肥質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝x＋x(1)(x>0)，以點(n，f(n))為切點作函數(shù)圖像的切線ln(n∈N*)，直線x＝n＋1與函數(shù)y＝f(x)圖像及切線ln分別相交于An，Bn，記an＝|AnBn|。
(1)求切線ln的方程及數(shù)列
{an}的通項公式；
(2)
設(shè)數(shù)列{nan}的前n項和為Sn，求證：Sn<1。
解 (1)對f
(x)＝x＋x(1)(x>0)求導(dǎo)，得f′(x)＝1－x2(1)，
則切線l
n的方程為y－n(1)＝n2(1)(x－n)，
即
y＝n2(1)x＋n(2)。
易知
Ann＋1(1)，Bnn2(n－1)，
由
an＝|AnBn|知an＝n2(n－1)＝n2(n＋1)(1)。
(2)證明：∵
nan＝n(n＋1)(1)＝n(1)－n＋1(1)，
∴Sn＝
a1＋2a2＋…＋nan＝1－2(1)＋2(1)－3(1)＋…＋n(1)－n＋1(1)＝1－n＋1(1)<1。
5．已知等差數(shù)列{an}
的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列。
(1)求數(shù)列{a
n}的通項公式；
(2)令b
n＝(－1)n－1anan＋1(4n)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn。
解 (1)因為S1
＝a1，S2＝2a1＋2(2×1)×2＝2a1＋2，
S4＝
4a1＋2(4×3)×2＝4a1＋12，
由題意得(2a1＋2)
2＝a1(4a1＋12)，
解得
a1＝1，所以an＝2n－1。
(2)
bn＝(－1)n－1anan＋1(4n)＝(－1)n－1(2n－1)(2n＋1)(4n)
＝
(－1)n－12n＋1(1)。
當(dāng)n為偶數(shù)時，
Tn＝3(1
)－5(1)＋…＋2n－3(1)＋2n－1(1)－2n＋1(1)＝1－2n＋1(1)＝2n＋1(2n)。
當(dāng)n為奇數(shù)時，
Tn＝3(1)－5(1)＋…－2n－3(1)＋2n－1(1)＋2n＋1(1)＝1＋2n＋1(1)＝2n＋1(2n＋2)。
所以Tn＝
，n為偶數(shù)。(2n)或Tn＝2n＋1(2n＋1＋(－1)n－1)
6．(2015·杭州質(zhì)檢)已知數(shù)列
{an}滿足a1＝1，an＋1＝1－4an(1)，其中n∈N*。
(1)設(shè)bn＝
2an－1(2)，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求出{an}的通項公式；
(2)
設(shè)cn＝n＋1(4an)，數(shù)列{cncn＋2}的前n項和為Tn，是否存在正整數(shù)m，使得Tn<cmcm＋1(1)對于n∈N*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由。
解 (1)
∵bn＋1－bn＝2an＋1－1(2)－2an－1(2)
＝－1(1)
－2an－1(2)
＝
2an－1(4an)－2an－1(2)＝2(常數(shù))，
∴數(shù)列{b
n}是等差數(shù)列。
∵
a1＝1，∴b1＝2，
因此bn＝2＋(n－1)×2＝2n，
由bn
＝2an－1(2)得an＝2n(n＋1)。
(2)
由cn＝n＋1(4an)，an＝2n(n＋1)得cn＝n(2)，
∴cnc
n＋2＝n(n＋2)(4)＝2n＋2(1)，
∴Tn＝21－3(1)＋2(1)－4(1)＋3(1)－5(1)＋…＋n(1)－n＋2(1)
＝
2n＋2(1)<3，
依題意要使
Tn<cmcm＋1(1)對于n∈N*恒成立，只需cmcm＋1(1)≥3，
即4(m(m＋1))≥3，
解得m≥3
或m≤－4，又m為正整數(shù)，所以m的最小值為3。
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