中考數(shù)學知識講解:二元一次方程的概念及解法

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    中考數(shù)學知識講解:二元一次方程的概念及解法
      二元一次方程有關概念
    (1)概念:含有兩個未知數(shù),并且未知數(shù)的項的次數(shù)都是1,這樣的方程叫做二元一次程.
    (2)一般形式:ax+by=c(a≠0,b≠0).
    (3)使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值,叫做二元一次方程的解.
    (4)解的特點:一般地,二元一次方程有無數(shù)個解.
      二元一次方程的解法
    1、直接開平方法:
    直接開平方法就是用直接開平方求解二元一次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程,其解為x=±根號下n+m.
    例1.解方程(1)(3x+1)2=7(2)9x2-24x+16=11
    分析:(1)此方程顯然用直接開平方法好做,(2)方程左邊是完全平方式(3x-4)2,右邊=11>0,所以此方程也可用直接開平方法解。
    (1)解:(3x+1)2=7×
    ∴(3x+1)2=5
    ∴3x+1=±(注意不要丟解)
    ∴x=
    ∴原方程的解為x1=,x2=
    (2)解:9x2-24x+16=11
    ∴(3x-4)2=11
    ∴3x-4=±
    ∴x=
    ∴原方程的解為x1=,x2=
    2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)
    先將常數(shù)c移到方程右邊:ax2+bx=-c
    將二次項系數(shù)化為1:x2+x=-
    方程兩邊分別加上一次項系數(shù)的一半的平方:x2+x+()2=-+()2
    方程左邊成為一個完全平方式:(x+)2=
    當b^2-4ac≥0時,x+=±
    ∴x=(這就是求根公式)  例2.用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注:X^2是X的平方)
    解:將常數(shù)項移到方程右邊3x^2-4x=2
    將二次項系數(shù)化為1:x2-x=
    方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方:x2-x+()2=+()2
    配方:(x-)2=
    直接開平方得:x-=±
    ∴x=
    ∴原方程的解為x1=,x2=.
    3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后計算判別式△=b2-4ac的值,當b2-4ac≥0時,把各項系數(shù)a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。
    例3.用公式法解方程2x2-8x=-5
    解:將方程化為一般形式:2x2-8x+5=0
    ∴a=2,b=-8,c=5
    b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
    ∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)
    ∴原方程的解為x1=,x2=.
    4.因式分解法:把方程變形為一邊是零,把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式,讓兩個一次因式分別等于零,得到兩個一元一次方程,解這兩個一元一次方程所得到的根,就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
    例4.用因式分解法解下列方程:
    (1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x2+3x=0
    (3)6x2+5x-50=0(選學)(4)x2-2(+)x+4=0(選學)
    (1)解:(x+3)(x-6)=-8化簡整理得
    x2-3x-10=0(方程左邊為二次三項式,右邊為零)
    (x-5)(x+2)=0(方程左邊分解因式)
    ∴x-5=0或x+2=0(轉化成兩個一元一次方程)
    ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
    (2)解:2x2+3x=0
    x(2x+3)=0(用提公因式法將方程左邊分解因式)
    ∴x=0或2x+3=0(轉化成兩個一元一次方程)
    ∴x1=0,x2=-是原方程的解。
    注意:有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解,應記住一元二次方程有兩個解。
    (3)解:6x2+5x-50=0
    (2x-5)(3x+10)=0(十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)
    ∴2x-5=0或3x+10=0
    ∴x1=,x2=-是原方程的解。
    (4)解:x2-2(+)x+4=0(∵4可分解為2·2,∴此題可用因式分解法)
    (x-2)(x-2)=0
    ∴x1=2,x2=2是原方程的解。
    小結:  一般解一元二次方程,最常用的方法還是因式分解法,在應用因式分解法時,一般要先將方程寫成一般形式,同時應使二次項系數(shù)化為正數(shù)。
    直接開平方法是最基本的方法。
    公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程(有人稱之為萬能法),在使用公式法時,一定要把原方程化成一般形式,以便確定系數(shù),而且在用公式前應先計算判別式的值,以便判斷方程是否有解。
    配方法是推導公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法
    解一元二次方程。但是,配方法在學習其他數(shù)學知識時有廣泛的應用,是初中要求掌握的三種重要的數(shù)學方法之一,一定要掌握好。(三種重要的數(shù)學方法:換元法,配方法,待定系數(shù)法)。