你的考試準備的怎么樣了，一起來看看考試欄目組小編為你提供的2019年初二數(shù)學幾何證明例題精講，試試自己的水平吧，更多相關資訊，請關注網站更新。
2019年初二數(shù)學幾何證明例題精講
【例1】.已知：如圖6，△、△分別是以、為斜邊的直角三角形，且，△是等邊三角形.求證：△是等邊三角形.
證明：∵∠BCE=90°∠ACD=90° 在△ECB和△ACD中
∠BCE=∠BCA+∠ACE BE=AD
∠ACD=∠ACE+∠ECD ∠BCE=∠ACD
∴∠ACB=∠ECD EC=CD
∵△ECD為等邊三角形 ∴△ECB≌△DCA( HL )
∴∠ECD=60° CD=EC ∴BC=AC
即ACB==60° ∵∠ACB=60°
∴△是等邊三角形
【例2】、如圖，已知BC > AB，AD=DC。BD平分∠ABC。求證：∠A+∠C=180°.
證明：在BC上截取BE=BA,連接DE, ∴∠A=∠BED AD= DE
∵BD平分∠BAC ∵AD=DC
∴∠ABD = ∠EBD ∴DE=DC
在△ABD和△EBD中 得 ∠DEC=∠C
AB=EB ∵∠BED+∠DEC=180°
∠ABD = ∠EBD ∴∠A+∠C=180°
BD=BD
△ABD ≌ △EBD(SAS)
1、線段的數(shù)量關系: 通過添加輔助線構造全等三角形轉移線段到一個三角形中證明線段相等。
①倍長中線
【例. 3】如圖，已知在△中，，，平分，交于點.
求證：
證明：延長DC到E，使得CE=CD,聯(lián)結AE ∵∠ADE=60° AD=AE
∵∠C=90° ∴△ADE為等邊三角形
∴AC⊥CD ∴AD=DE
∵CD=CE ∵DB=DA
∴AD=AE ∴BD=DE
∵∠B=30°∠C=90° ∴BD=2DC
∴∠BAC=60°
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=30°
∴DB=DA ∠ADE=60°
【例4.】 如圖，是的邊上的點，且，，是的中線。求證：。
證明：延長AE到點F,使得EF=AE 聯(lián)結DF
在△ABE和△FDE中 ∴∠ADC=∠ABD+∠BDA
BE =DE ∵∠ABE=∠FDE
∠AEB=∠FED ∴∠ADC=∠ADB+∠FDE
AE=FE 即 ∠ADC = ∠ADF
∴△ABE ≌ △FDE(SAS) 在△ADF和△ADC中
∴AB=FD ∠ABE=∠FDE AD=AD
∵AB=DC ∠ADF = ∠ADC
∴ FD = DC DF =DC
∵∠ADC=∠ABD+∠BAD ∴△ ADF≌ ADC(SAS)
∵ ∴AF=AC
∴AC=2AE
【變式練習】、 如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分∠BAE.
證明：延長AE到點F,使得EF=AE 聯(lián)結DF
在△ACE和△FDE中 ∴∠ADB=∠ACD+∠CDA
CE =DE ∵∠ACE=∠FDE
∠AEC=∠FED ∴∠ADB=∠ADC+∠FDE
AE=FE 即 ∠ADB = ∠ADF
∴△ACE ≌ △FDE(SAS) 在△ADF和△ADB中
∴AC=FD ∠ACE=∠FDE AD=AD
∵DB=AC ∠ADF = ∠ADB
∴DB = DF D F =DB
∵∠ADB=∠ACD+∠CAD ∴△ ADF≌ ADB(SAS)
∵ AC=DC ∴∠FAD=∠BAD
∴ ∠CAD=∠CDA ∴AD平分∠DAE
【小結】熟悉法一、法三“倍長中線”的輔助線包含的基本圖形“八字型”和“倍長中線”兩種基本操作方法，倍長中線，或者倍長過中點的一條線段以后的對于解決含有過中點線段有很好的效果。
【變式練習】：如圖所示，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AC=BF?！∏笞C：AE=EF。
證明：延長AD至點G，使得DG=AD，聯(lián)結BD
在△ADC和△GDB中 ∴BG= BF
AD=GD ∴ ∠BFG=∠BGF
∠ADC=∠GDB ∵∠CAD =∠BGD
BD=DC ∴∠BFG= ∠CAD
∴△ADC ≌△GDB(SAS) ∵∠BFG=∠AFE
得 AC= BG ∠CAD =∠BGD ∴∠AFE=∠FAE
∵AC=BF ∴AE =AF
②、借助角平分線造全等
【例5】如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD
證明：在AC上截取AF=AE ,聯(lián)結OF 在△AOE和△AOF中
在△ABC中，∠B+∠BAD+∠ACB=180° AE=AF
∵∠B =60 ° ∠EAO=∠FAO
∴∠BAD+∠ACB=120° AO = AO
∵AD平分∠BAC ∴△AOE ≌△AOF(ASA) 在△COD和 △COF中
∴∠BAC= 2∠OAC ∴∠AOE=∠AOE OE=OF ∠DCO =∠FCO
∵CE平分∠ACB ∵∠AOE=60° CO=CO
∴∠ACB= 2∠ACO ∠AOE+∠AOE+∠FOC=180° ∠DOC=∠FOC
∴2∠OAC+2∠ACO=120° ∠FOC=6O° ∴△COD ≌△COF(ASA)
∴∠OAC+∠ACO=60° ∵∠AOE=∠COD ∴OD =OF
∵∠AOE=∠OAC+∠ACO ∴∠COD=60° ∵OE=OF
∴∠AOE=60° ∴OE=OD
【例6】.如圖，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，BD的延長線垂直于過C點的直線于E，直線CE交BA的延長線于F.求證：BD=2CE.
證明：延長BA，CE交于點F，在ΔBEF和ΔBEC中，
∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，
∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。
又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。
在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，
∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。
【小結】解題后的思考：
①_x0001_于角平行線的問題，常用兩種輔助線;
②見中點即聯(lián)想到中位線。
③ 旋轉
【例7】正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).
∴∠GAE=∠FAE
延長EB到點G，使得BG =BE ∠DAF+∠BAF=90°
先證明△ADF ≌ △ABE ∠GAB =∠FAD
可得到 AF =AG ∠ DAF = ∠GAB ∴∠GAF = 90°
∵EF =BE +DF ∴∠EAF = 45°
∴ EF = BE+BG =GE
∴△GAE ≌ △FAE
【例8】. 將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，為折痕，則的大小為___90°;
【例9】.如圖，已知∠ABC=∠DBE=90°，DB=BE，AB=BC.(1)求證：AD=CE，AD⊥CE (2)若△DBE繞點B旋轉到△ABC外部，其他條件不變，則(1)中結論是否仍成立?請證明
提示：∠ABC=∠DBE =90° ∴∠ECB+∠AHB=90°
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE -∠DBC ∴∠ECB+∠CHF=90°
即∠ABD=∠CBE ∴∠HFC=90°
∴△ABD ≌△ CBE ∴AD⊥ CE H
AD=CE
∠BAD=∠ECB
∵∠BAD+∠AHB=90°
【例10】.如圖在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O為BC中點. (1)寫出O點到△ABC三個頂點A、B、C的距離關系(不要求證明) (2)如果M、N分別在線段AB、AC上移動,在移動過程中保持AN=BM,請判 斷△O M N的形狀,并證明你的結論.
聯(lián)結OA
則△OAC和△OABD都為等腰直角三角形
∴OA=0B=0C
△ANO ≌ △BMO(∠NOA=∠OBM)
可得ON=OM ∠ NOA=∠MOB
可得到∠NOM=∠AOB=90°
【例11】如圖，已知為等邊三角形，、、分別在邊、、上，且也是等邊三角形.(1)除已知相等的邊以外，請你猜想還有哪些相等線段，并證明你的猜想是正確的;
(2)你所證明相等的線段，可以通過怎樣的變化相互得到?寫出變化過程.
AE=BF =CD AF=BD =CE
等邊三角形 也是等邊三角形
得到∠EFD=60° ∠ABC=60°
∵∠AFD=∠FBD+∠FDB
∠AFD=∠AFE+∠EFD
∴∠AFE=∠BDF
∴△AEF ≌ △BFD
同理：△AEF≌ △CDE
④、截長補短
【例12】、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CD⊥AC
【例13】如圖，AC∥BD，EA,EB分別平分∠CAB,∠DBA，CD過點E，求證;AB=AC+BD
【例14】如圖，已知在內，，，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP
證明：如圖(1)，過O作OD∥BC交AB于D，
∴∠ADO=∠ABC=180°-60°-40°=80°，
又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，
∴∠ADO=∠AQO，
又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，
∴△ADO≌△AQO，
∴OD=OQ，AD=AQ，
又∵OD∥BP，
∴∠PBO=∠DOB，
又∵∠PBO=∠DBO，
∴∠DBO=∠DOB，
∴BD=OD，
又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，
∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，
∴∠BOP=∠BPO，
∴BP=OB，
∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。
【例15】.如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，求證：AC=AE+CD.
方法同【例5】
【例16】已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求證：EF=AC
延長FD至點G，聯(lián)結CG
先證明 △FDE ≌ GDC
得 ∠EFD = ∠CGD FE = CG
，EF//AB
∠ EFD =∠1
∠CGD=∠1
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠CGD
∴ AC= CG
∵FE = CG
∴EF=AC
【例17】 如圖，為等邊三角形，點分別在上，且，與交于點。
求 的度數(shù)。
先證明 △ABM ≌ △BCN (SAS)
可得∠CBN = ∠BAM
∠AQN=∠ABQ+∠BAQ
∵∠BAM=∠CBN
∴∠AQN=∠ABQ+∠CBN
即 ∠AQN=∠ABC = 60°
(4)過圖形上某一點作特定的平行線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”
【例18】：如圖，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一點，F(xiàn)是AC延長線上一點，連EF交BC于D，若EB=CF。求證：DE=DF。
證明：過E作EG//AC交BC于G，
則∠EGB=∠ACB，
又AB=AC，∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，
∴EB=EG=CF，
∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，
∴DE=DF。
. 【例19】已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC = DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長線交DC于點E. 求證：(1)△BFC≌△DFC;(2)AD = DE.
聯(lián)結BD
證明：∵CF平分∠BCD ∴∠ADB=∠CDB
∴∠BCF=∠DCF ∵DF∥AB
在△BCF和△DCF中 ∴∠ABD=∠BDF
BC=CD BF=DF
∠BCF=∠DCF ∴∠FDB=∠FBD
CF=CF ∴∠ABD=∠FBD
∴△BCF ≌ △DCF(SAS) 在△ABD和△EBD中
∴BF=DF ∠ABD=∠EBD
(2) ∵AD∥BC BD=BD
∴∠ADB =∠CBD ∠ADB=∠EDB
∵BC = DC ∴△ABD ≌ △EBD (ASA)
∠CBD=∠CDB ∴AD = DE
【課堂練習】
1.如圖，已知AE平分∠BAC，BE上AE于E，ED∥AC，∠BAE=36°，那么∠BED= 126°
延長AE交AC于F
2.如圖：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求證：(1)AM=AN;(2)AM⊥AN。
【試卷上面的已講】
綜合題：
已知在△ABC中，，高所在的直線與高所在的直線交于點，過點作∥，交直線于點,聯(lián)結.(1)當△是銳角三角形時(如圖a所示)， 求證：;
(2)當是鈍角時(如圖b所示)，①寫出線段、、三者之間的數(shù)量關系，不必寫出證明過程，直接寫結論; ②當,時，求的長.
可知 △FDC和△AFG都為等腰直角三角形 圖(b)中
∴FD=DC AF =FG △ABD和△AFG都為等腰直角三角形
∵AD=AF+FD △ADC ≌ △BDF
∴AD=FG+DC DC = FD
FD=AF +AD
CD=FD
【總結】
常見輔助線的作法有以下幾種：
1)遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”.
2)遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”.
3)遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理.
4)過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”
5)截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明.這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目.
特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解