第一章 排列題
所謂排列問題，指的是元素之間有明顯的前后順序關(guān)系，問題要求根據(jù)已知條件對(duì)各元素做出排列或者確定其中某些元素的位置。
一、單行排列題
單行排列題是為基礎(chǔ)的一類排列題，其定義為元素僅出現(xiàn)，位置排成一條直線，且元素和位置一一對(duì)應(yīng)。其解題思路是先從確定條件入手，再用連續(xù)條件，接下來用先后條件，后用推導(dǎo)條件，并把這些條件與題目中的附加條件(若有的話)相結(jié)合進(jìn)行解題。
習(xí)題一
條件表達(dá)：
(1)J＜H(H的課在J之后)
(2)S＜U(U的課在S之后)
(3)S=G+3(S的課在G之后的第三天上)
(4)J=1/3(J的課不是在第一天就是在第三天)
條件分析：
根據(jù)條件(2)和條件(3)可得G+4≤U≤6，也即G只能占據(jù)1號(hào)或2號(hào)位置，而U只能占據(jù)5號(hào)或6號(hào)位置，S只能占據(jù)4號(hào)和5號(hào)位置。6個(gè)學(xué)生的占位情況可分三種情況加以討論：(1)J=1；(2)J=3，G=1；(3)J=3，G=2。這三種情況下這六個(gè)學(xué)生上課的順序如下表所示：
1
2
3
4
5
6
(1)
J
G
T/H
H/T
S
U
(2)
G
T
J
S
H/U
U/H
(3)
T
G
J
H
S
U
二、雙行排列或多行排列
雙行或多行排列：每個(gè)元素僅出現(xiàn)，位置排成兩條或兩條以上的直線。在雙行排列中，由于多了一條直線，所以相鄰元素可能會(huì)有上、下、左、右四個(gè)元素，并會(huì)引入諸如兩個(gè)元素在同一行，同一列等新條件，端點(diǎn)位置和中心位置的概念也會(huì)發(fā)生變化。
習(xí)題二
條件表達(dá)：
以c，l和f分別代表氣候，位置和友好程度，則以上條件可以表示如下：
(1)每一個(gè)位置上只有一個(gè)元素出現(xiàn)
(2)c:T=3,S=4
(3)l:Q=2,R=3,P=4
(4)f:T＜P,Q=4,S=5
(5)R(C)＜R(f)(表示R在氣候一項(xiàng)所獲得的排名比在友好程度一項(xiàng)上所獲得的排名靠前)
(6)Q(c)≠Q(mào)(1)≠Q(mào)(f)
條件分析：本題也可以算作是一個(gè)多次的單排列題。根據(jù)以上條件把確定性元素填入下表：
1
2
3
4
5
氣候c
T
S
位置l
Q
R
P
友好f
T
R/P
P/R
Q
S
根據(jù)條件（6）可知Q(c)=1/5；根據(jù)條件（5）可知R(c)＜R(f)可知R(f)≠1，再根據(jù)T(f)＜P(f)可知，T(f)=1，R(f)=2/3，P(f)=3/2，R(c)=1/2。（這里“/”的意思是“或”）
三、多次排列
多次排列：參加排列的元素個(gè)數(shù)小于位置數(shù)，從而造成某些元素占據(jù)兩個(gè)或兩個(gè)以上位置的排列。與其他排列的不同之處在于它并不注重哪一個(gè)元素位于哪一個(gè)位置上，相反它更強(qiáng)調(diào)某個(gè)元素排了幾次。在多次排列中，除了排列的一般條件之外，還應(yīng)特別注意每個(gè)位置上所能容納的元素個(gè)數(shù)以及元素之間的互斥，互容關(guān)系等。數(shù)字分析是解答這類題的關(guān)鍵。
習(xí)題三
條件分析：
10個(gè)元素放在5個(gè)位置上，每個(gè)位置上2個(gè)元素，這10個(gè)元素分別是4R，2S，2T，1U和1V。將2R=3以及V=5分別填入下表：
1
2
3
4
5
R/S
R/S
R
R
R/S
V
R/S
此時(shí)10個(gè)元素中只有3個(gè)的位置已經(jīng)確定，還有7個(gè)元素——2R、2S、2T和1U的位置無法確定。根據(jù)R和S不能在同一周內(nèi)可知2R和2S必定要分布到4個(gè)不同的星期內(nèi)，也即除了第三周之外的其他四個(gè)周的每一個(gè)周中不上演R的作品就必定要上演S的作品。把分析的結(jié)果填入上面的表格中后就可以利用這些條件開始解題了。
四、環(huán)形排列
環(huán)形排列：它是基本排列的一種變形，其不同之處在于它把位置的首端和尾端連接了起來，從而形成了一種沒有端點(diǎn)且呈環(huán)狀的排列。通常又把環(huán)形排列稱為“方桌排列”或“圓桌排列”。這種排列明顯的特征是其位置中失去了端點(diǎn)位置，從而使元素相鄰的條件更易達(dá)到。反之，對(duì)元素不相鄰的條件則更難滿足?？忌诮膺@類題時(shí)要注意以下三點(diǎn)：
(1)首尾相連 (2)左右概念 (3)相對(duì)概念
由于位置構(gòu)成了一條閉合回路，形成排列時(shí)的先后、上下以及左右的位置關(guān)系通常情況下都是相對(duì)的，與考生所畫的圖的表達(dá)方式有關(guān)，這一點(diǎn)是考生在解這類題時(shí)必須時(shí)刻注意的問題。
習(xí)題四
條件分析：根據(jù)條件(1)，(2)，(3)和(4)可推知兩個(gè)紅色長凳一定不能相鄰，從而可以推知T在東南角時(shí)，U一定在西北角。凳子在公園四周的分布情況可用一個(gè)3行3列的表格來表示。把已知條件代入可以得到下表：
U
J
K/L
L/K
T
5.正確答案是(D)。Z在Y的正北邊時(shí)，八個(gè)長凳的放置情況就完全確定了，如下表如示：
U
J
L
Z
K
Y
X
T
7.正確答案是(C)。當(dāng)Y位于L的南面和T的北面時(shí)，Y只能位于西面的中間位置，而L只能位于東北角。此時(shí)八個(gè)長凳的分布情況可以分兩種情況來考慮：(1)X和T相鄰；(2)X和T不相鄰。這兩種情況下這八個(gè)元素的占位情況如下表所示：
U
J
L
Y
K
Z/X
X/Z
T
根據(jù)表格中的信息可知T和X并不一定相鄰。
所謂排列問題，指的是元素之間有明顯的前后順序關(guān)系，問題要求根據(jù)已知條件對(duì)各元素做出排列或者確定其中某些元素的位置。
一、單行排列題
單行排列題是為基礎(chǔ)的一類排列題，其定義為元素僅出現(xiàn)，位置排成一條直線，且元素和位置一一對(duì)應(yīng)。其解題思路是先從確定條件入手，再用連續(xù)條件，接下來用先后條件，后用推導(dǎo)條件，并把這些條件與題目中的附加條件(若有的話)相結(jié)合進(jìn)行解題。
習(xí)題一
條件表達(dá)：
(1)J＜H(H的課在J之后)
(2)S＜U(U的課在S之后)
(3)S=G+3(S的課在G之后的第三天上)
(4)J=1/3(J的課不是在第一天就是在第三天)
條件分析：
根據(jù)條件(2)和條件(3)可得G+4≤U≤6，也即G只能占據(jù)1號(hào)或2號(hào)位置，而U只能占據(jù)5號(hào)或6號(hào)位置，S只能占據(jù)4號(hào)和5號(hào)位置。6個(gè)學(xué)生的占位情況可分三種情況加以討論：(1)J=1；(2)J=3，G=1；(3)J=3，G=2。這三種情況下這六個(gè)學(xué)生上課的順序如下表所示：
1
2
3
4
5
6
(1)
J
G
T/H
H/T
S
U
(2)
G
T
J
S
H/U
U/H
(3)
T
G
J
H
S
U
二、雙行排列或多行排列
雙行或多行排列：每個(gè)元素僅出現(xiàn)，位置排成兩條或兩條以上的直線。在雙行排列中，由于多了一條直線，所以相鄰元素可能會(huì)有上、下、左、右四個(gè)元素，并會(huì)引入諸如兩個(gè)元素在同一行，同一列等新條件，端點(diǎn)位置和中心位置的概念也會(huì)發(fā)生變化。
習(xí)題二
條件表達(dá)：
以c，l和f分別代表氣候，位置和友好程度，則以上條件可以表示如下：
(1)每一個(gè)位置上只有一個(gè)元素出現(xiàn)
(2)c:T=3,S=4
(3)l:Q=2,R=3,P=4
(4)f:T＜P,Q=4,S=5
(5)R(C)＜R(f)(表示R在氣候一項(xiàng)所獲得的排名比在友好程度一項(xiàng)上所獲得的排名靠前)
(6)Q(c)≠Q(mào)(1)≠Q(mào)(f)
條件分析：本題也可以算作是一個(gè)多次的單排列題。根據(jù)以上條件把確定性元素填入下表：
1
2
3
4
5
氣候c
T
S
位置l
Q
R
P
友好f
T
R/P
P/R
Q
S
根據(jù)條件（6）可知Q(c)=1/5；根據(jù)條件（5）可知R(c)＜R(f)可知R(f)≠1，再根據(jù)T(f)＜P(f)可知，T(f)=1，R(f)=2/3，P(f)=3/2，R(c)=1/2。（這里“/”的意思是“或”）
三、多次排列
多次排列：參加排列的元素個(gè)數(shù)小于位置數(shù)，從而造成某些元素占據(jù)兩個(gè)或兩個(gè)以上位置的排列。與其他排列的不同之處在于它并不注重哪一個(gè)元素位于哪一個(gè)位置上，相反它更強(qiáng)調(diào)某個(gè)元素排了幾次。在多次排列中，除了排列的一般條件之外，還應(yīng)特別注意每個(gè)位置上所能容納的元素個(gè)數(shù)以及元素之間的互斥，互容關(guān)系等。數(shù)字分析是解答這類題的關(guān)鍵。
習(xí)題三
條件分析：
10個(gè)元素放在5個(gè)位置上，每個(gè)位置上2個(gè)元素，這10個(gè)元素分別是4R，2S，2T，1U和1V。將2R=3以及V=5分別填入下表：
1
2
3
4
5
R/S
R/S
R
R
R/S
V
R/S
此時(shí)10個(gè)元素中只有3個(gè)的位置已經(jīng)確定，還有7個(gè)元素——2R、2S、2T和1U的位置無法確定。根據(jù)R和S不能在同一周內(nèi)可知2R和2S必定要分布到4個(gè)不同的星期內(nèi)，也即除了第三周之外的其他四個(gè)周的每一個(gè)周中不上演R的作品就必定要上演S的作品。把分析的結(jié)果填入上面的表格中后就可以利用這些條件開始解題了。
四、環(huán)形排列
環(huán)形排列：它是基本排列的一種變形，其不同之處在于它把位置的首端和尾端連接了起來，從而形成了一種沒有端點(diǎn)且呈環(huán)狀的排列。通常又把環(huán)形排列稱為“方桌排列”或“圓桌排列”。這種排列明顯的特征是其位置中失去了端點(diǎn)位置，從而使元素相鄰的條件更易達(dá)到。反之，對(duì)元素不相鄰的條件則更難滿足?？忌诮膺@類題時(shí)要注意以下三點(diǎn)：
(1)首尾相連 (2)左右概念 (3)相對(duì)概念
由于位置構(gòu)成了一條閉合回路，形成排列時(shí)的先后、上下以及左右的位置關(guān)系通常情況下都是相對(duì)的，與考生所畫的圖的表達(dá)方式有關(guān)，這一點(diǎn)是考生在解這類題時(shí)必須時(shí)刻注意的問題。
習(xí)題四
條件分析：根據(jù)條件(1)，(2)，(3)和(4)可推知兩個(gè)紅色長凳一定不能相鄰，從而可以推知T在東南角時(shí)，U一定在西北角。凳子在公園四周的分布情況可用一個(gè)3行3列的表格來表示。把已知條件代入可以得到下表：
U
J
K/L
L/K
T
5.正確答案是(D)。Z在Y的正北邊時(shí)，八個(gè)長凳的放置情況就完全確定了，如下表如示：
U
J
L
Z
K
Y
X
T
7.正確答案是(C)。當(dāng)Y位于L的南面和T的北面時(shí)，Y只能位于西面的中間位置，而L只能位于東北角。此時(shí)八個(gè)長凳的分布情況可以分兩種情況來考慮：(1)X和T相鄰；(2)X和T不相鄰。這兩種情況下這八個(gè)元素的占位情況如下表所示：
U
J
L
Y
K
Z/X
X/Z
T
根據(jù)表格中的信息可知T和X并不一定相鄰。