知識要點(diǎn)：
一、函數(shù)的奇偶性
1.定義：對于函數(shù)f(x)，如果對于定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)為奇函數(shù)；
對于函數(shù)f(x)，如果對于定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)為偶函數(shù)；
2.性質(zhì)：
(1)函數(shù)依據(jù)奇偶性分類可分為：奇函數(shù)非偶函數(shù)，偶函數(shù)非奇函數(shù)，既奇且偶函數(shù)，非奇非偶函數(shù)；
(2) f(x),g(x)的定義域?yàn)镈；
(3)圖象特點(diǎn)：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；
(4)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，則有f(0)=0；
(5)任意一個(gè)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)f(x)總可以表示為一個(gè)奇函數(shù)與偶函數(shù)的和的形式：f(x)=g(x)+h(x)，其中g(shù)(x)=-[f(x)+f(-x)]為偶函數(shù)，h(x)=-[f(x)-f(-x)]為奇函數(shù)；
(6)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間具有相反的單調(diào)性。
3.判斷方法：
(1)定義法
(2)等價(jià)形式：f(-x)+f(x)=0，f(x)為奇函數(shù)；
f(-x)-f(x)=0,f(x)為偶函數(shù)。
4.拓展延伸：
(1)一般地，對于函數(shù)y=f(x)，定義域內(nèi)每一個(gè)自變量x，都有f(a+x)=2b-f(a-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)成中心對稱；
(2)一般地，對于函數(shù)y=f(x)，定義域內(nèi)每一個(gè)自變量x都有f(a+x)=f(a-x)，則它的圖象關(guān)于x=a成軸對稱。
二、周期性：
1.定義：對于函數(shù)y=f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)自變量x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x)=f(x+T)成立，那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)。
2.圖象特點(diǎn)：
將函數(shù)y=f(x)的圖象向左(右)平移的整數(shù)倍個(gè)單位，所得的函數(shù)圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象重合。
3.函數(shù)圖象的對稱性與周期性的關(guān)系：
(1)若對于函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有f(a+x)=f(a-x)且f(b+x)=f(b-x)，(a、b不相等的常數(shù))則函數(shù)為周期函數(shù)。(周期為：2|a-b|)
(2)若對于函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有f(a+x)=-f(a-x)且f(b+x)=-f(b-x)，(a、b不相等的常數(shù))則函數(shù)為周期函數(shù)。(周期為：2|a-b|)
(3)若對于函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有f(a+x)=-f(a-x)且f(b+x)=f(b-x)，(a、b不相等的常數(shù))則函數(shù)為周期函數(shù)。(周期為：4|a-b|)
典型例題
例1：判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)f(x)=(x-1)·■
解：函數(shù)的定義域?yàn)閤∈{x|-1≤x<1}
函數(shù)f(x)=(x-1)·■為∴f(x)非奇非偶函數(shù)
(2) f(x)=loga(-x+-)
解：x∈R
f(-x)=loga(x+-
=loga-
=-loga(-x+-)=-f(x)
∴f(x)為奇函數(shù)
(3)f(x)=x·（-+-)
解：x∈{x∈R|x≠0}
f(-x)-f(x)=-x(-+-)-x(-+-)
=-x(-+-+1)=0
∴f(x)為偶函數(shù)
(4)f(x)=-
解：1+cosx+sinx≠0
sin(x+-)≠--，x∈{x|x≠2k-且x≠2k--，k∈R}
定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴f(x)為非奇非偶函數(shù)
說明：
1.判斷函數(shù)的奇偶性首先要檢驗(yàn)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱。特別應(yīng)注意，求解定義域時(shí)，不能化簡解析式后再求解。
2.在判斷是否有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立時(shí)，必要時(shí)可使用等價(jià)變形形式：f(-x)±f(x)=0
例2：(1)已知：f(x)是奇函數(shù)，且x>0時(shí)f(x)=x|x-2|
求x<0的解析式
解：設(shè)x<0,則-x>0
-，
說明：1.利用函數(shù)的奇偶性求解析式，要將自變量x設(shè)在所求的范圍內(nèi)。
2.轉(zhuǎn)化帶入利用定義構(gòu)造方程。
(2)定義在R上的奇函數(shù)f(x)且滿足f(3+x)=f(3-x)，若x∈(0,3),f(x)=2x
求：當(dāng)x∈(-6,-3)時(shí)，f(x)的解析式。
解：x∈(-6,-3) -x∈(3,6),6-(-x)∈(0,3)
-
∴f(x)=-2x+6
說明：1.合理分解題意是關(guān)鍵。
2.此題還可以應(yīng)用周期性進(jìn)行求解。
例3：已知：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足f(x+2)=-f(x)
(1)求證：f(x)為周期函數(shù)；
(2)若f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=-x，求使得f(x)=--的所有x。
(1)解：-
∴f(x)=f(x+4)
f(x)為周期是4的周期函數(shù)。
(2)解：x∈[-1,0],-x∈[0,1]
-
∴f(x)=-x,x∈[-1,0]
∴f(x)=-x,x∈[-1,1]
x∈(1,3),∴-1
-
∴f(x)=--(x-2),x∈[1,3]
-
x∈[-1,3),f(x)=--,x=-1
∴x=4n-1,n∈Z
一、函數(shù)的奇偶性
1.定義：對于函數(shù)f(x)，如果對于定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)為奇函數(shù)；
對于函數(shù)f(x)，如果對于定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)為偶函數(shù)；
2.性質(zhì)：
(1)函數(shù)依據(jù)奇偶性分類可分為：奇函數(shù)非偶函數(shù)，偶函數(shù)非奇函數(shù)，既奇且偶函數(shù)，非奇非偶函數(shù)；
(2) f(x),g(x)的定義域?yàn)镈；
(3)圖象特點(diǎn)：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；
(4)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，則有f(0)=0；
(5)任意一個(gè)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)f(x)總可以表示為一個(gè)奇函數(shù)與偶函數(shù)的和的形式：f(x)=g(x)+h(x)，其中g(shù)(x)=-[f(x)+f(-x)]為偶函數(shù)，h(x)=-[f(x)-f(-x)]為奇函數(shù)；
(6)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間具有相反的單調(diào)性。
3.判斷方法：
(1)定義法
(2)等價(jià)形式：f(-x)+f(x)=0，f(x)為奇函數(shù)；
f(-x)-f(x)=0,f(x)為偶函數(shù)。
4.拓展延伸：
(1)一般地，對于函數(shù)y=f(x)，定義域內(nèi)每一個(gè)自變量x，都有f(a+x)=2b-f(a-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)成中心對稱；
(2)一般地，對于函數(shù)y=f(x)，定義域內(nèi)每一個(gè)自變量x都有f(a+x)=f(a-x)，則它的圖象關(guān)于x=a成軸對稱。
二、周期性：
1.定義：對于函數(shù)y=f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)自變量x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x)=f(x+T)成立，那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)。
2.圖象特點(diǎn)：
將函數(shù)y=f(x)的圖象向左(右)平移的整數(shù)倍個(gè)單位，所得的函數(shù)圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象重合。
3.函數(shù)圖象的對稱性與周期性的關(guān)系：
(1)若對于函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有f(a+x)=f(a-x)且f(b+x)=f(b-x)，(a、b不相等的常數(shù))則函數(shù)為周期函數(shù)。(周期為：2|a-b|)
(2)若對于函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有f(a+x)=-f(a-x)且f(b+x)=-f(b-x)，(a、b不相等的常數(shù))則函數(shù)為周期函數(shù)。(周期為：2|a-b|)
(3)若對于函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有f(a+x)=-f(a-x)且f(b+x)=f(b-x)，(a、b不相等的常數(shù))則函數(shù)為周期函數(shù)。(周期為：4|a-b|)
典型例題
例1：判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)f(x)=(x-1)·■
解：函數(shù)的定義域?yàn)閤∈{x|-1≤x<1}
函數(shù)f(x)=(x-1)·■為∴f(x)非奇非偶函數(shù)
(2) f(x)=loga(-x+-)
解：x∈R
f(-x)=loga(x+-
=loga-
=-loga(-x+-)=-f(x)
∴f(x)為奇函數(shù)
(3)f(x)=x·（-+-)
解：x∈{x∈R|x≠0}
f(-x)-f(x)=-x(-+-)-x(-+-)
=-x(-+-+1)=0
∴f(x)為偶函數(shù)
(4)f(x)=-
解：1+cosx+sinx≠0
sin(x+-)≠--，x∈{x|x≠2k-且x≠2k--，k∈R}
定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴f(x)為非奇非偶函數(shù)
說明：
1.判斷函數(shù)的奇偶性首先要檢驗(yàn)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱。特別應(yīng)注意，求解定義域時(shí)，不能化簡解析式后再求解。
2.在判斷是否有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立時(shí)，必要時(shí)可使用等價(jià)變形形式：f(-x)±f(x)=0
例2：(1)已知：f(x)是奇函數(shù)，且x>0時(shí)f(x)=x|x-2|
求x<0的解析式
解：設(shè)x<0,則-x>0
-，
說明：1.利用函數(shù)的奇偶性求解析式，要將自變量x設(shè)在所求的范圍內(nèi)。
2.轉(zhuǎn)化帶入利用定義構(gòu)造方程。
(2)定義在R上的奇函數(shù)f(x)且滿足f(3+x)=f(3-x)，若x∈(0,3),f(x)=2x
求：當(dāng)x∈(-6,-3)時(shí)，f(x)的解析式。
解：x∈(-6,-3) -x∈(3,6),6-(-x)∈(0,3)
-
∴f(x)=-2x+6
說明：1.合理分解題意是關(guān)鍵。
2.此題還可以應(yīng)用周期性進(jìn)行求解。
例3：已知：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足f(x+2)=-f(x)
(1)求證：f(x)為周期函數(shù)；
(2)若f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=-x，求使得f(x)=--的所有x。
(1)解：-
∴f(x)=f(x+4)
f(x)為周期是4的周期函數(shù)。
(2)解：x∈[-1,0],-x∈[0,1]
-
∴f(x)=-x,x∈[-1,0]
∴f(x)=-x,x∈[-1,1]
x∈(1,3),∴-1
-
∴f(x)=--(x-2),x∈[1,3]
-
x∈[-1,3),f(x)=--,x=-1
∴x=4n-1,n∈Z