二叉樹期權定價模型
二、二叉樹期權定價模型
（一）單期二叉樹定價模型
1、假設：市場投資沒有交易成本；投資者都是價格接受者；允許完全使用賣空所得款項；允許以無風險利率借入或貸出款項；未來股票的價格將是兩種可能值中的一個。
2、單期二叉樹模型的推導
C0＝【（1＋r－d）/（u－d）】×【Cu /(1+r)】+[(u-1-r)/（u－d）] 【Cd /(1+r)】
（二）兩期二叉樹模型
單期模型向兩期模型的擴展，不過是單期模型的兩次應用。及先利用單期定價模型，根據(jù)Cuu和Cud計算節(jié)點Cu 的價值，利用Cud和Cdd計算Cd的價值，然后再次利用單期定價模型，根據(jù)Cu和 Cd計算，從后向前推。
教材【例11－10】
假設ABC公司的股票現(xiàn)在的市價為50元。有1股以該股票為標的資產(chǎn)的看漲期權，執(zhí)行價格為52.08元。到期時間是6個月。將6個月分為兩期，每期3個月。每期股價有兩種可能：上升22.56%，或者降低18.4%。無風險利率為每3個月1%。
分析：
兩種方法計算：二叉圖形見教材325頁。
1、復制組合定價
上行乘數(shù)u＝1+22.56％＝1.2256
下行乘數(shù)d＝1－18.4％＝0.816
（1）確定可能的股票價格
①確定3個月后，即第1期可能的股票價格
上行股價Su＝股票現(xiàn)價S0×上行乘數(shù)u＝50×1.2256＝61.28
下行股價Sd＝股票現(xiàn)價S0×下行乘數(shù)d＝50×0.816＝40.8
②確定6個月后，即第2期可能的股票價格
第1期上行股價Su又有兩種情況
上行股價Suu＝Su×上行乘數(shù)u＝61.28×1.2256＝75.10
下行股價Sud＝Su×下行乘數(shù)d＝61.28×0.816＝50
第1期下行股價 Sd 又有兩種情況
上行股價Sdu＝Sd×上行乘數(shù)u＝40.8×1.2256＝50
下行股價Sdd＝Sd×下行乘數(shù)d＝40.8×0.816＝33.29
所以，第2期可能的股票價格是75.1 、 50 、 33.29
（2）確定可能的期權到期日價值
Cuu＝75.1-52.08＝23.02
Cud＝0
Cdd＝0
（3）計算套期保值率
套期保值率＝（23.02－0）÷（75.1－50）＝0.91713
（4）計算第2期投資組合成本Cu
借款＝（50×0.91713）/(1+1%)=45.4
股票購買支出＝61.28×0.9173＝56.2
投資組合的成本Cu＝56.2－45.4＝10.8
第2期投資組合成本Cd＝0
(5)計算第1期投資組合成本C0
套期保值率＝（10.8－0）÷（61.28－40.8）＝0.5273
借款＝（40.8×0.5273）/(1+1%)=21.3008
股票支出＝0.5273×50＝26.365
C0投資組合成本＝26.365－21.3008＝5.06
二、二叉樹期權定價模型
（一）單期二叉樹定價模型
1、假設：市場投資沒有交易成本；投資者都是價格接受者；允許完全使用賣空所得款項；允許以無風險利率借入或貸出款項；未來股票的價格將是兩種可能值中的一個。
2、單期二叉樹模型的推導
C0＝【（1＋r－d）/（u－d）】×【Cu /(1+r)】+[(u-1-r)/（u－d）] 【Cd /(1+r)】
（二）兩期二叉樹模型
單期模型向兩期模型的擴展，不過是單期模型的兩次應用。及先利用單期定價模型，根據(jù)Cuu和Cud計算節(jié)點Cu 的價值，利用Cud和Cdd計算Cd的價值，然后再次利用單期定價模型，根據(jù)Cu和 Cd計算，從后向前推。
教材【例11－10】
假設ABC公司的股票現(xiàn)在的市價為50元。有1股以該股票為標的資產(chǎn)的看漲期權，執(zhí)行價格為52.08元。到期時間是6個月。將6個月分為兩期，每期3個月。每期股價有兩種可能：上升22.56%，或者降低18.4%。無風險利率為每3個月1%。
分析：
兩種方法計算：二叉圖形見教材325頁。
1、復制組合定價
上行乘數(shù)u＝1+22.56％＝1.2256
下行乘數(shù)d＝1－18.4％＝0.816
（1）確定可能的股票價格
①確定3個月后，即第1期可能的股票價格
上行股價Su＝股票現(xiàn)價S0×上行乘數(shù)u＝50×1.2256＝61.28
下行股價Sd＝股票現(xiàn)價S0×下行乘數(shù)d＝50×0.816＝40.8
②確定6個月后，即第2期可能的股票價格
第1期上行股價Su又有兩種情況
上行股價Suu＝Su×上行乘數(shù)u＝61.28×1.2256＝75.10
下行股價Sud＝Su×下行乘數(shù)d＝61.28×0.816＝50
第1期下行股價 Sd 又有兩種情況
上行股價Sdu＝Sd×上行乘數(shù)u＝40.8×1.2256＝50
下行股價Sdd＝Sd×下行乘數(shù)d＝40.8×0.816＝33.29
所以，第2期可能的股票價格是75.1 、 50 、 33.29
（2）確定可能的期權到期日價值
Cuu＝75.1-52.08＝23.02
Cud＝0
Cdd＝0
（3）計算套期保值率
套期保值率＝（23.02－0）÷（75.1－50）＝0.91713
（4）計算第2期投資組合成本Cu
借款＝（50×0.91713）/(1+1%)=45.4
股票購買支出＝61.28×0.9173＝56.2
投資組合的成本Cu＝56.2－45.4＝10.8
第2期投資組合成本Cd＝0
(5)計算第1期投資組合成本C0
套期保值率＝（10.8－0）÷（61.28－40.8）＝0.5273
借款＝（40.8×0.5273）/(1+1%)=21.3008
股票支出＝0.5273×50＝26.365
C0投資組合成本＝26.365－21.3008＝5.06