三 正態(tài)總體參數(shù)的無偏估計(jì)
設(shè) 是來自正態(tài)總體N( )的一個樣本，現(xiàn)將參數(shù) 、 和 的常用的無偏估計(jì)分述如下。
1正態(tài)均值 的無偏估計(jì)
正態(tài)均值 的無偏估計(jì)有兩個：
(1) 是樣本均值;
(2) 是樣本中位數(shù);
即：
當(dāng)n為偶數(shù)
當(dāng)n為奇數(shù)
當(dāng)樣本量為1或2時，上述兩個無偏估計(jì)相同;當(dāng) ≥3時，它們一般就不同。理論和實(shí)踐都表明：在估計(jì)正態(tài)均值 時，用樣本均值 總比用樣本中位數(shù) 要更有效些，因?yàn)闃颖揪?使用了樣本中全部信息，而樣本中位數(shù)只用了樣本中部分信息，但樣本中位數(shù) 計(jì)算簡單快捷，故在實(shí)際中也常被使用，統(tǒng)計(jì)過程控制(SPC，見第七章)中的中位數(shù)圖就是一例。
2正態(tài)方差 的無偏估計(jì)
常用的只有一個，它就是樣本方差 ，即：
理論研究表明，它在 所有無偏估計(jì)中是的。
3正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)差 的無偏估計(jì)
正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)差 的無偏估計(jì)有兩個：
(1) 一個是對樣本極差R= 進(jìn)行修偏而得，具體估計(jì)為:
(2) 對樣本標(biāo)準(zhǔn)差 進(jìn)行修偏而得，具體估計(jì)是：
其中 2與 是與樣本無關(guān)而與樣本量 有關(guān)的常數(shù)，常用的值列。
對 =2時，上述兩個無偏估計(jì)相同。當(dāng) 時，它們一般不相同。
例2 從某廠生產(chǎn)的一批鉚釘中隨機(jī)抽取10個，測得其頭部直徑分別為：13.30，13.38，13.40，13.43，13.32，13.48，13.34，13.47，13.44，13.50，若鉚釘頭部直徑這一總體的分布是正態(tài)分布 ，求總體X的均值 和標(biāo)準(zhǔn)差 的估計(jì)。
解析：
因 ，可用 估計(jì) ，用 估計(jì) ，它們分別為：
在本例中，利用樣本標(biāo)準(zhǔn)差 可得到 的另一估計(jì)：
四 正態(tài)概率紙
正態(tài)概率紙是一種特殊的坐標(biāo)紙，其橫坐標(biāo)是等間隔的，縱坐標(biāo)是按標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值給出的。
正態(tài)概率紙的意義：
1檢驗(yàn)一組數(shù)據(jù)(即樣本) 是否來自正態(tài)分布。
具體操作如下：
①把樣本數(shù)據(jù)排序： ;
②在點(diǎn) 處，用修正頻率 (或 )估計(jì)累計(jì)概率 。
計(jì)算這些估計(jì)值;
③把 個點(diǎn)逐一點(diǎn)在正態(tài)概率紙上。
④用目測法判斷：
若這 個點(diǎn)近似在一直線附近，則認(rèn)為該樣本來自某正態(tài)總體;若 個點(diǎn)明顯不在一直線附近，則認(rèn)為該樣本來自非正態(tài)總體。
正態(tài)概率紙上作圖的步驟：
例3 隨機(jī)選取10個零件，測得其直徑與標(biāo)準(zhǔn)尺寸的偏差如下(單位：絲)：
100.5， 90.0， 100.7， 97.0， 99.0， 105.0， 95.0， 86.0， 91.7， 83.0。
解析：
在正態(tài)概率紙上作圖的步驟如下：
①將數(shù)據(jù)按從小到大的次序排列： ;
②計(jì)算修正頻率;
③將點(diǎn) ，逐一點(diǎn)在正態(tài)概率紙上;
④觀察上述 個點(diǎn)的分布狀態(tài)，從圖上可見，10個點(diǎn)基本在一條直線附近，因此認(rèn)為直徑與標(biāo)準(zhǔn)尺寸的偏差服從正態(tài)分布。
2. 在確認(rèn)樣本來自正態(tài)分布后，可在正態(tài)概率紙上作出正態(tài)均值 與正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)差 的估計(jì)。具體操作如下：
(1)在圖上用目測法畫出一條直線;
(2)從縱軸0.50處畫一水平線與直線 交于A點(diǎn)，從A點(diǎn)落下垂線，垂足M的橫坐標(biāo)便是正態(tài)均值u的估計(jì)值;
(3)從縱軸為0.84處畫一水平線與直線 交于B點(diǎn)，從B點(diǎn)落下垂線，垂足N的橫坐標(biāo)是 的估計(jì)值，故線段MN的長度就是正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)差 的估計(jì)值。
3. 在確認(rèn)樣本來自非正態(tài)分布后，可對數(shù)據(jù)作變換后再在正態(tài)概率紙上描點(diǎn)，若諸點(diǎn)近似在一直線附近，則可認(rèn)為變換后的數(shù)據(jù)來自某正態(tài)總體，常用的變換有如下兩個：
或 若數(shù)據(jù) 經(jīng)對數(shù)變換 ，后在正態(tài)概率紙上呈直線狀，則可認(rèn)為 ，并在圖上定出u與 ，這時X服從對數(shù)正態(tài)分布，記為 。
當(dāng)數(shù)據(jù) 經(jīng)倒數(shù)變換 ，后在正態(tài)概率紙上呈直線狀，則可認(rèn)為 ，并在圖上定出u與 。這時X服從倒正態(tài)分布，記為 。
設(shè) 是來自正態(tài)總體N( )的一個樣本，現(xiàn)將參數(shù) 、 和 的常用的無偏估計(jì)分述如下。
1正態(tài)均值 的無偏估計(jì)
正態(tài)均值 的無偏估計(jì)有兩個：
(1) 是樣本均值;
(2) 是樣本中位數(shù);
即：
當(dāng)n為偶數(shù)
當(dāng)n為奇數(shù)
當(dāng)樣本量為1或2時，上述兩個無偏估計(jì)相同;當(dāng) ≥3時，它們一般就不同。理論和實(shí)踐都表明：在估計(jì)正態(tài)均值 時，用樣本均值 總比用樣本中位數(shù) 要更有效些，因?yàn)闃颖揪?使用了樣本中全部信息，而樣本中位數(shù)只用了樣本中部分信息，但樣本中位數(shù) 計(jì)算簡單快捷，故在實(shí)際中也常被使用，統(tǒng)計(jì)過程控制(SPC，見第七章)中的中位數(shù)圖就是一例。
2正態(tài)方差 的無偏估計(jì)
常用的只有一個，它就是樣本方差 ，即：
理論研究表明，它在 所有無偏估計(jì)中是的。
3正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)差 的無偏估計(jì)
正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)差 的無偏估計(jì)有兩個：
(1) 一個是對樣本極差R= 進(jìn)行修偏而得，具體估計(jì)為:
(2) 對樣本標(biāo)準(zhǔn)差 進(jìn)行修偏而得，具體估計(jì)是：
其中 2與 是與樣本無關(guān)而與樣本量 有關(guān)的常數(shù)，常用的值列。
對 =2時，上述兩個無偏估計(jì)相同。當(dāng) 時，它們一般不相同。
例2 從某廠生產(chǎn)的一批鉚釘中隨機(jī)抽取10個，測得其頭部直徑分別為：13.30，13.38，13.40，13.43，13.32，13.48，13.34，13.47，13.44，13.50，若鉚釘頭部直徑這一總體的分布是正態(tài)分布 ，求總體X的均值 和標(biāo)準(zhǔn)差 的估計(jì)。
解析：
因 ，可用 估計(jì) ，用 估計(jì) ，它們分別為：
在本例中，利用樣本標(biāo)準(zhǔn)差 可得到 的另一估計(jì)：
四 正態(tài)概率紙
正態(tài)概率紙是一種特殊的坐標(biāo)紙，其橫坐標(biāo)是等間隔的，縱坐標(biāo)是按標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值給出的。
正態(tài)概率紙的意義：
1檢驗(yàn)一組數(shù)據(jù)(即樣本) 是否來自正態(tài)分布。
具體操作如下：
①把樣本數(shù)據(jù)排序： ;
②在點(diǎn) 處，用修正頻率 (或 )估計(jì)累計(jì)概率 。
計(jì)算這些估計(jì)值;
③把 個點(diǎn)逐一點(diǎn)在正態(tài)概率紙上。
④用目測法判斷：
若這 個點(diǎn)近似在一直線附近，則認(rèn)為該樣本來自某正態(tài)總體;若 個點(diǎn)明顯不在一直線附近，則認(rèn)為該樣本來自非正態(tài)總體。
正態(tài)概率紙上作圖的步驟：
例3 隨機(jī)選取10個零件，測得其直徑與標(biāo)準(zhǔn)尺寸的偏差如下(單位：絲)：
100.5， 90.0， 100.7， 97.0， 99.0， 105.0， 95.0， 86.0， 91.7， 83.0。
解析：
在正態(tài)概率紙上作圖的步驟如下：
①將數(shù)據(jù)按從小到大的次序排列： ;
②計(jì)算修正頻率;
③將點(diǎn) ，逐一點(diǎn)在正態(tài)概率紙上;
④觀察上述 個點(diǎn)的分布狀態(tài)，從圖上可見，10個點(diǎn)基本在一條直線附近，因此認(rèn)為直徑與標(biāo)準(zhǔn)尺寸的偏差服從正態(tài)分布。
2. 在確認(rèn)樣本來自正態(tài)分布后，可在正態(tài)概率紙上作出正態(tài)均值 與正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)差 的估計(jì)。具體操作如下：
(1)在圖上用目測法畫出一條直線;
(2)從縱軸0.50處畫一水平線與直線 交于A點(diǎn)，從A點(diǎn)落下垂線，垂足M的橫坐標(biāo)便是正態(tài)均值u的估計(jì)值;
(3)從縱軸為0.84處畫一水平線與直線 交于B點(diǎn)，從B點(diǎn)落下垂線，垂足N的橫坐標(biāo)是 的估計(jì)值，故線段MN的長度就是正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)差 的估計(jì)值。
3. 在確認(rèn)樣本來自非正態(tài)分布后，可對數(shù)據(jù)作變換后再在正態(tài)概率紙上描點(diǎn)，若諸點(diǎn)近似在一直線附近，則可認(rèn)為變換后的數(shù)據(jù)來自某正態(tài)總體，常用的變換有如下兩個：
或 若數(shù)據(jù) 經(jīng)對數(shù)變換 ，后在正態(tài)概率紙上呈直線狀，則可認(rèn)為 ，并在圖上定出u與 ，這時X服從對數(shù)正態(tài)分布，記為 。
當(dāng)數(shù)據(jù) 經(jīng)倒數(shù)變換 ，后在正態(tài)概率紙上呈直線狀，則可認(rèn)為 ，并在圖上定出u與 。這時X服從倒正態(tài)分布，記為 。