江蘇2013年高考數(shù)學(xué)真題（文字版）

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2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題（江蘇卷）
    一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分。請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相印位置上。
    1、函數(shù) 的最小正周期為     ▲   
    2、設(shè) （ 為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù) 的模為     ▲   
    3、雙曲線 的兩條漸近線的方程為     ▲   
    4、集合 共有     ▲    個(gè)子集
    5、右圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的 的值是     ▲    （流程圖暫缺）
    6、抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)員的5此訓(xùn)練成績(jī)（單位：環(huán)），結(jié)果如下：
    

    則成績(jī)較為穩(wěn)定（方程較小）的那位運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為     ▲   
    7、現(xiàn)在某類(lèi)病毒記作 ，其中正整數(shù) ， （ ， ）可以任意選取，
    則 都取到奇數(shù)的概率為     ▲   
    8、如圖，在三棱柱 中， 分別是
    的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐 的體積為 ，三棱柱 的體
    積為 ，則      ▲   
    9、拋物線 在 處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域?yàn)?（包含
    三角形內(nèi)部和邊界）。若點(diǎn) 是區(qū)域 內(nèi)的任意一點(diǎn)，則 的取值范圍是     ▲   
    10、設(shè) 分別是 的邊 上的點(diǎn)， ， ，
    若 （ 為實(shí)數(shù)），則 的值為     ▲   
    11、已知 是定義在 上的奇函數(shù)。當(dāng) 時(shí)， ，則不等式 的解
    集用區(qū)間表示為     ▲   
    12、在平面直角坐標(biāo)系 中，橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，右焦點(diǎn)為 ，
    右準(zhǔn)線為 ，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為 ，設(shè)原點(diǎn)到直線 的距離為 ， 到 的距離為 ，
    若 ，則橢圓 的離心率為     ▲   
    13、在平面直角坐標(biāo)系 中，設(shè)定點(diǎn) ， 是函數(shù) （ ）圖象上一動(dòng)點(diǎn)，
    若點(diǎn) 之間的最短距離為 ，則滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù) 的所有值為     ▲   
    14、在正項(xiàng)等比數(shù)列 中， ， ，則滿(mǎn)足 的
    正整數(shù) 的值為     ▲   
     
    二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
    15、（本小題滿(mǎn)分14分）
    已知 ， 。
    （1）若 ，求證： ；
    （2）設(shè) ，若 ，求 的值。
     
    16、（本小題滿(mǎn)分14分）
    如圖，在三棱錐 中，平面 平面 ，
    ， ，過(guò) 作 ，垂足為 ，
    點(diǎn) 分別是棱 的中點(diǎn)。
    求證：（1）平面 平面 ；
            （2） 。
     
    17、

x

y

A

l

O

（本小題滿(mǎn)分14分）
    如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中，點(diǎn) ，直線 。
    設(shè)圓 的半徑為 ，圓心在 上。
    （1）若圓心 也在直線 上，過(guò)點(diǎn) 作圓 的切線，
            求切線的方程；
    （2）若圓 上存在點(diǎn) ，使 ，求圓心 的橫坐
            標(biāo) 的取值范圍。
     
    18、（本小題滿(mǎn)分16分）
    

C

B

A

如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn) 處下山至 處有兩種路徑。一種是從 沿直線步行到 ，另一種是先從 沿索道乘纜車(chē)到 ，然后從 沿直線步行到 。現(xiàn)有甲、乙兩位游客從 處下山，甲沿 勻速步行，速度為 。在甲出發(fā) 后，乙從 乘纜車(chē)到 ，在 處停留 后，再?gòu)膭蛩俨叫械?。假設(shè)纜車(chē)勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為 ，山路 長(zhǎng)為 ，經(jīng)測(cè)量， ， 。
    （1）求索道 的長(zhǎng)；
    （2）問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車(chē)上與甲的距離最短？
    （3）為使兩位游客在 處互相等待的時(shí)間不超過(guò) 分鐘，
         乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？
     
    19、（本小題滿(mǎn)分16分）
    設(shè) 是首項(xiàng)為 ，公差為 的等差數(shù)列 ， 是其前 項(xiàng)和。記 ， ，
    其中 為實(shí)數(shù)。
    （1）若 ，且 成等比數(shù)列，證明： （ ）；
    （2）若 是等差數(shù)列，證明： 。
     
     
     20、（本小題滿(mǎn)分16分）
    設(shè)函數(shù) ， ，其中 為實(shí)數(shù)。
    （1）若 在 上是單調(diào)減函數(shù)，且 在 上有最小值，求 的取值范圍；
    （2）若 在 上是單調(diào)增函數(shù)，試求 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。