這篇2013年湖南數(shù)學(xué)真題試卷的文章，是特地為大家整理的，希望對(duì)大家有所幫助！
本試卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共5頁(yè)，時(shí)量120分鐘，滿分150分。
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.復(fù)數(shù) 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.某學(xué)校有男、女學(xué)生各500名.為了解男女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛(ài)好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是
A．抽簽法 B．隨機(jī)數(shù)法 C．系統(tǒng)抽樣法 D．分層抽樣法
3.在銳角中 ，角 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 .若
A． B． C． D．
4.若變量 滿足約束條件 ，
A． B． C． D．
5.函數(shù) 的圖像與函數(shù) 的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為
A．3 B．2 C．1 D．0
6. 已知 是單位向量， .若向量 滿足
A． B．
C． D．
7．已知棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于
A． B． C． D．
8.在等腰三角形 中， 點(diǎn) 是邊 上異于 的一點(diǎn)，光線從點(diǎn) 出發(fā)，經(jīng) 發(fā)射后又回到原點(diǎn) （如圖 ）.若光線 經(jīng)過(guò) 的中心，則 等于
A． B．
C． D．
二、填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分.
（一）選做題（請(qǐng)考生在第9、10、11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題計(jì)分）
9.在平面直角坐標(biāo)系 中，若
右頂點(diǎn)，則常數(shù) .
10.已知 .
11.如圖2，在半徑為 的 中,弦
.
（一）必做題（12-16題）
12.若 .
13.執(zhí)行如圖3所示的程序框圖，如果輸入 .
14．設(shè) 是雙曲線 的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若 且 的最小內(nèi)角為 ，則C的離心率為___。
15．設(shè) 為數(shù)列 的前n項(xiàng)和， 則
（1） _____；
（2） ___________。
16．設(shè)函數(shù)
（1）記集合 ，則 所對(duì)應(yīng)的 的零點(diǎn)的取值集合為____。
（2）若 .（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）
①
②
③若
三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17．（本小題滿分12分）
已知函數(shù) 。
（I）若 是第一象限角，且 。求 的值；
（II）求使 成立的x的取值集合。
18．（本小題滿分12分）
某人在如圖4所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)（指縱、橫的交叉點(diǎn)記憶三角形的頂點(diǎn)）處都種了一株相同品種的作物。根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量Y（單位：kg）與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：
|
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
Y |
51 |
48 |
45 |
42 |
這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過(guò)1米。
（I）從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；
（II）從所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望。
19．（本小題滿分12分）
如圖5，在直棱柱
（I）證明： ；
（II）求直線 所成角的正弦值。
20．（本小題滿分13分）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將從點(diǎn)M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn)N的任一路徑成為M到N的一條“L路徑”。如圖6所示的路徑 都是M到N的“L路徑”。某地有三個(gè)新建的居民區(qū)，分別位于平面xOy內(nèi)三點(diǎn) 處?，F(xiàn)計(jì)劃在x軸上方區(qū)域（包含x軸）內(nèi)的某一點(diǎn)P處修建一個(gè)文化中心。
（I）寫出點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值的表達(dá)式（不要求證明）；
（II）若以原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū)，“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置，使其到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度值和最小。
21．（本小題滿分13分）
過(guò)拋物線 的焦點(diǎn)F作斜率分別為 的兩條不同的直線 ，且 ， 相交于點(diǎn)A，B， 相交于點(diǎn)C，D。以AB，CD為直徑的圓M，圓N（M，N為圓心）的公共弦所在的直線記為 。
（I）若 ，證明； ；
（II）若點(diǎn)M到直線 的距離的最小值為 ，求拋物線E的方程。
22．（本小題滿分13分）
已知 ，函數(shù) 。
（I）；記 求 的表達(dá)式；
（II）是否存在 ，使函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)的圖像上存在兩點(diǎn)，在該兩點(diǎn)處的切線相互垂直？若存在，求 的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。