這篇2013年湖南數(shù)學(xué)真題試卷的文章,是特地為大家整理的,希望對(duì)大家有所幫助!
本試卷包括選擇題、填空題和解答題三部分,共5頁(yè),時(shí)量120分鐘,滿分150分。
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.復(fù)數(shù) 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.某學(xué)校有男、女學(xué)生各500名.為了解男女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛(ài)好方面是否存在顯著差異,擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,則宜采用的抽樣方法是
A.抽簽法 B.隨機(jī)數(shù)法 C.系統(tǒng)抽樣法 D.分層抽樣法
3.在銳角中 ,角 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 .若
A. B. C. D.
4.若變量 滿足約束條件 ,
A. B. C. D.
5.函數(shù) 的圖像與函數(shù) 的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為
A.3 B.2 C.1 D.0
6. 已知 是單位向量, .若向量 滿足
A. B.
C. D.
7.已知棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形,則該正方體的正視圖的面積不可能等于
A. B. C. D.
8.在等腰三角形 中, 點(diǎn) 是邊 上異于 的一點(diǎn),光線從點(diǎn) 出發(fā),經(jīng) 發(fā)射后又回到原點(diǎn) (如圖 ).若光線 經(jīng)過(guò) 的中心,則 等于
A. B.
C. D.
二、填空題:本大題共8小題,考生作答7小題,每小題5分,共35分.
(一)選做題(請(qǐng)考生在第9、10、11三題中任選兩題作答,如果全做,則按前兩題計(jì)分)
9.在平面直角坐標(biāo)系 中,若
右頂點(diǎn),則常數(shù) .
10.已知 .
11.如圖2,在半徑為 的 中,弦
.
(一)必做題(12-16題)
12.若 .
13.執(zhí)行如圖3所示的程序框圖,如果輸入 .
14.設(shè) 是雙曲線 的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),若 且 的最小內(nèi)角為 ,則C的離心率為___。
15.設(shè) 為數(shù)列 的前n項(xiàng)和, 則
(1) _____;
(2) ___________。
16.設(shè)函數(shù)
(1)記集合 ,則 所對(duì)應(yīng)的 的零點(diǎn)的取值集合為____。
(2)若 .(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))
①
②
③若
三、解答題:本大題共6小題,共75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) 。
(I)若 是第一象限角,且 。求 的值;
(II)求使 成立的x的取值集合。
18.(本小題滿分12分)
某人在如圖4所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫的交叉點(diǎn)記憶三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物。根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn),一株該種作物的年收獲量Y(單位:kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示:
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
Y |
51 |
48 |
45 |
42 |
這里,兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過(guò)1米。
(I)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物,求它們恰好“相近”的概率;
(II)從所種作物中隨機(jī)選取一株,求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望。
19.(本小題滿分12分)
如圖5,在直棱柱
(I)證明: ;
(II)求直線 所成角的正弦值。
20.(本小題滿分13分)
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將從點(diǎn)M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn)N的任一路徑成為M到N的一條“L路徑”。如圖6所示的路徑 都是M到N的“L路徑”。某地有三個(gè)新建的居民區(qū),分別位于平面xOy內(nèi)三點(diǎn) 處?,F(xiàn)計(jì)劃在x軸上方區(qū)域(包含x軸)內(nèi)的某一點(diǎn)P處修建一個(gè)文化中心。
(I)寫出點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值的表達(dá)式(不要求證明);
(II)若以原點(diǎn)O為圓心,半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū),“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū),請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置,使其到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度值和最小。
21.(本小題滿分13分)
過(guò)拋物線 的焦點(diǎn)F作斜率分別為 的兩條不同的直線 ,且 , 相交于點(diǎn)A,B, 相交于點(diǎn)C,D。以AB,CD為直徑的圓M,圓N(M,N為圓心)的公共弦所在的直線記為 。
(I)若 ,證明; ;
(II)若點(diǎn)M到直線 的距離的最小值為 ,求拋物線E的方程。
22.(本小題滿分13分)
已知 ,函數(shù) 。
(I);記 求 的表達(dá)式;
(II)是否存在 ,使函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)的圖像上存在兩點(diǎn),在該兩點(diǎn)處的切線相互垂直?若存在,求 的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。