一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)
1.下列各數(shù)：π2，0，9，0.23•，cos60°，227，0.030 030 003…，1-2中，無理數(shù)有( )
A.2 個 B.3 個 C.4 個 D.5 個
2.在平面直角坐標(biāo)系中，下面的點(diǎn)在第四象限的是( )
A.(1,3) B.(0，-3)
C.(-2，-3) D.(π，-1)
3.下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( )
4.形狀相同、大小相等的兩個小木塊放置于桌面，其俯視圖如圖J21，則其正視圖是( )
5.如圖J22，△ABC與△A′B′C′是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，若OA=2AA′，S△ABC=8，則S△A′B′C′=( )
A.9 B.16 C.18 D.24
圖J22 圖J23
6.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖J23，給出以下結(jié)論：
①因?yàn)閍>0，所以函數(shù)y有大值;
②該函數(shù)圖象關(guān)于直線x=-1對稱;
③當(dāng)x=-2時，函數(shù)y的值大于0;
④當(dāng)x=-3或x=1時，函數(shù)y的值都等于0.
其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
7.如圖J24，直線l與直線a，b相交.若a∥b，∠1=70°，則∠2的度數(shù)是________.
圖J24 圖J25
8.已知某種型號的紙100張厚度約為1 cm，那么這種型號的紙13億張厚度約為____________km.
9.菱形OACB在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖J25，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(6,0)，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是1，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是________.
10.函數(shù)y=1-kx的圖象與直線y=x沒有交點(diǎn)，那么k的取值范圍是____________.
三、解答題(本大題共5小題，每小題10分，共50分)
11.化簡：x-1x÷x-2x-1x.
12.如圖J26，放置在水平桌面上的臺燈的燈臂AB長為40 cm，燈罩BC長為30 cm，底座厚度為2 cm，燈臂與底座構(gòu)成的∠BAD=60°.使用發(fā)現(xiàn)，光線佳時燈罩BC與水平線所成的角為30°，此時燈罩頂端C到桌面的高度CE是多少厘米?(結(jié)果精確到0.1 cm，參考數(shù)據(jù)：3≈1.732)
13.已知：關(guān)于x的一元二次方程：x2-2mx+m2-4=0.
(1)求證：這個方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)當(dāng)拋物線y=x2-2mx+m2-4與x軸的交點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)，且到原點(diǎn)的距離相等時，求此拋物線的解析式.
14.某校為了解本校八年級學(xué)生的課外閱讀喜好，隨機(jī)抽取部分該校八年級學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查(每人只選一種書籍)，圖J27是整理數(shù)據(jù)后畫的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請你根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：
(1)這次活動一共調(diào)查了________名學(xué)生;
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“其他”所在的扇形圓心角為________;
(3)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(4)若該校八年級有600人，請你估計(jì)喜歡“科普常識”的學(xué)生有________人.
15.如圖J28，在⊙O中，弦BC垂直于半徑OA，垂足為E，點(diǎn)D是優(yōu)弧上的一點(diǎn)，連接BD，AD，OC，∠ADB=30°.
(1)求∠AOC的度數(shù);
(2)若弦BC=6 cm，求圖中陰影部分的面積.
三、解答題
11.(2013•茂名)如圖，在▱ABCD 中，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，DE與CB的延長線交于點(diǎn)F.[來
(1)求證：△ADE≌△BFE;
(2)若DF平分∠ADC，連接CE.試判斷CE和DF的位置關(guān)系，并說明理由.
11.解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC.
又∵點(diǎn)F在CB的延長線上，
∴AD∥CF，
∴∠1=∠2.
∵點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，
∴AE=BE.
∵在△ADE與△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE(AAS);
(2)解：CE⊥DF.理由如下：
如圖，連接CE.
由(1)知，△ADE≌△BFE，
∴DE=FE，即點(diǎn)E是DF的中點(diǎn)，∠1=∠2.
∵DF平分∠ADC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴CD=CF，
∴CE⊥DF.
12.(2013•白銀)如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長線于點(diǎn)F，且AF=BD，連接BF.
(1)BD與CD有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由;
(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形?并說明理由.
12.解：(1)BD=CD.
理由如下：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中點(diǎn)，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中， ，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD;
(2)當(dāng)△ABC滿足：AB=AC時，四邊形AFBD是矩形.
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四邊形AFBD是平行四邊形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴▱AFBD是矩形.
13.(2013•無錫)如圖，四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，在①AB∥CD;②AO=CO;③AD=BC中任意選取兩個作為條件，“四邊形ABCD是平行四邊形”為結(jié)論構(gòu)造命題.
(1)以①②作為條件構(gòu)成的命題是真命題嗎?若是，請證明;若不是，請舉出反例;
( 2)寫出按題意構(gòu)成的所有命題中的假命題，并舉出反例加以說明.(命題請寫成“如果…，那么….”的形式)
13.(1)以①②作為條件構(gòu)成的命題是真命題，
證明：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴ ，
∵AO=OC，
∴OB=OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
(2)根據(jù)①③作為條件構(gòu)成的命題是假命題，即如果有一組對邊平行，而另一組對邊相等的四邊形時平行四邊形，如等腰梯形符合，但不是平行四邊形;
根據(jù)②③作為條件構(gòu)成的命題是假命題，即如果一個四邊形ABCD的對角線交于O，且OA=OC，AD=BC，那么這個四邊形時平行四邊形，如圖，
根據(jù)已知不能推出OB=OD或AD∥BC或AB=DC，即四邊形不是平行四邊形.
14.(2013•寧波)已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(1，0)，B(3，0)，且過點(diǎn)C(0，-3).
(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)請你寫出一種平移的方法，使平移后拋物線的頂點(diǎn)落在直線y=-x上，并寫出平移后拋物線的解析式.
14.解：(1)∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A(1，0)，B(3，0)，
可設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)(x-3)，
把C(0，-3)代入得：3a=-3，
解得：a=-1，
故拋物線解析式為y=-(x-1)(x-3)，
即y=-x2+4x-3，
∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)(2，1);
(2)先向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得到的拋物線的解析式為y=-x2，平移后拋物線的頂點(diǎn)為(0，0)落在直線y=-x上.
15.(2013•涼山州)先閱讀以下材料，然后解答問題：
材料：將二次函數(shù)y=-x2+2x+3的圖象向左平移1個單位，再向下平移2個單位，求平移后的拋物線的解析式(平移后拋物線的形狀不變).
解：在拋物線y=-x2+2x+3圖象上任取兩點(diǎn)A(0，3)、B(1，4)，由題意知：點(diǎn)A向左平移1個單位得到A′(-1，3)，再向下平移2個單位得到A″(-1，1);點(diǎn)B向左平移1個單位得到B′(0，4)，再向下平移2個單位得到B″(0，2).
設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=-x2+bx+c.則點(diǎn)A″(-1，1)，B″(0，2)在拋物線上.可得：
，解得： .所 以平移后的拋物線的解析式為：y=-x2+2.
根據(jù)以上信息解答下列問題：
將直線y=2x-3向右平移3個單位，再向上平移1個單位，求平移后的直線的解析式.
15.解：在直線y=2x-3上任取一點(diǎn)A(0，-3)，由題意知A向右平移3個單位，再向上平移1個單位得到A′(3，-2)，
設(shè)平移后的解析式為y=2x+b，
則A′(3，-2)在y=2x+b的解析式上，
-2=2×3+b，
解得：b=-8，
所以平移后的直線的解析式為y=2x-8.
16.(2013•湖州)一節(jié)數(shù)學(xué)課后，老師布置了一道課后練習(xí)題：
如圖，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于點(diǎn)O，點(diǎn)PD分別在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于點(diǎn)E，求證：△BPO≌△PDE.
(1)理清思路，完成解答(2)本題證明的思路可用下列框圖表示：
根據(jù)上述思路，請你完整地書寫本題的證明過程.
(2)特殊位置，證明結(jié)論
若PB平分∠ABO，其余條件不變.求證：AP=CD.
(3)知識遷移，探索新知
若點(diǎn)P是一個動點(diǎn)，點(diǎn)P運(yùn)動到OC的中點(diǎn)P′時，滿足題中條件的點(diǎn)D也隨之在直線BC上運(yùn)動到點(diǎn)D′，請直接寫出CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系.(不必寫解答過程)
16.(1)證明：∵PB=PD，
∴∠2=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠C=45°，
∵∠3=∠PBO-∠1，∠4=∠2-∠C，
∴∠3=∠4，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中
，
∴△BPO≌△PDE(AAS);
(2)證明：由(1)可得：∠3=∠4，
∵BP平分∠ABO，
∴∠ABP=∠3，
∴∠A BP=∠4，]
在△ABP和△CPD中
。
∴△ABP≌△CPD(AAS)，
∴AP=CD.
(3)解：CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系是CD′= AP′.
理由是：如圖，
設(shè)OP=PC=x，則AO=OC=2x=BO，
則AP=2x+x=3x，
由(2)知BO=PE，
PE=2x，CE=2x-x=x，
∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，
∴DE=x，由勾股定理得：CD= x，
即AP=3x，CD= x，
∴CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系是CD′= AP′
17.(2013•淄博)分別以▱ABCD(∠CDA≠90°)的三邊AB，CD，DA為斜邊作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF.
(1)如圖1，當(dāng)三個等腰直角三角形都在該平行四邊形外部時，連接GF，EF.請判斷GF與EF的關(guān)系(只寫結(jié)論，不需證明);
(2)如圖2，當(dāng)三個等腰直角三角形都在該平行四邊形內(nèi)部時，連接GF，EF，(1)中結(jié)論還成立嗎?若成立，給出證明;若不成立，說明理由.
17.解：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=C D，∠DAB+∠ADC=180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，
∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA，
∠EAF=360°-∠BAE-∠DAF-∠BAD=270°-(180°-∠CDA)=90°+∠CDA，X k b 1 . c o m
∴∠FDG=∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
，
∴△EAF≌△GDF(SAS)，
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，
∴∠GFE=90°，
∴GF⊥EF;
(2)GF⊥EF，GF=EF成立;
理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，
∴∠BAE+∠FDA+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°，
∴∠EAF+∠CDF=45°，
∵∠CDF+∠GDF=45°，
∴∠FDG=∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
，
∴△EAF≌△GDF(SAS)，
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，
∴∠GFE=90°，
∴GF⊥EF.
18.(2013•張家界)如圖，△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個動點(diǎn)，過O作直線MN∥BC.設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F.
(1)求證：OE=OF;
(2)若CE=12，CF=5，求OC的長;
(3)當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動到什么位置時，四邊形AECF是矩形?并說明理由.
18.(1)證明：如圖，[
∵M(jìn)N交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F，
∴∠2=∠5，4=∠6，
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠1=∠5，3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，F(xiàn)O=CO，
∴OE=OF;
(2)∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=12，CF=5，
∴EF= =13，
∴OC= EF=6.5;
(3)答：當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動到AC中點(diǎn)時，四邊形AECF是矩形.
證明：當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四邊形AECF是矩形.
19.(2013•衡陽)如圖，P為正方形ABCD的邊AD上的一個動點(diǎn)，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分別為點(diǎn)E、F，已知AD=4.
(1)試說明AE2+CF2的值是一個常數(shù);
(2)過點(diǎn)P作PM∥FC交CD于點(diǎn)M，點(diǎn)P在何位置時線段DM長，并求出此時DM的值.
19.解：(1)由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，
∴∠ABE=∠BCF，
∵在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF(AAS)，
∴AE=BF，
∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16為常數(shù);
(2)設(shè)AP=x，則PD=4-x，
由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，
∴△PDM∽△BAP，
∴ ，
即 ，
∴DM= ，
當(dāng)x=2時，DM有大值為1.
20.(2013•寧夏)在▱ABCD中，P是AB邊上的任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)作PE⊥AB，交AD于E，連結(jié)CE，CP.已知∠A=60°;
(1)若BC=8，AB=6，當(dāng)AP的長為多少時，△CPE的面積大，并求出面積的大值.
(2)試探究當(dāng)△CPE≌△CPB時，▱ABCD的兩邊AB與BC應(yīng)滿足什么關(guān)系?
20.解：(1)如圖，延長PE交CD的延長線于F，
設(shè)AP=x，△CPE的面積為y，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB=DC=6，AD=BC=8，
∵Rt△APE，∠A= 60°，
∴∠PEA=30°，
∴AE=2x，PE= x，
在Rt△DEF中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=AD-AE=8-2x，
∴DF= DE=4-x，
∵AB∥CD，PF⊥AB，
∴PF⊥CD，
∴S△CPE= PE•CF，
即y= × x×(10-x)=- x2+5 x，
配方得：y=- (x-5)2+ ，
當(dāng)x=5時，y有大值 ，
即AP的長為5時，△CPE的面積大，大面積是 ;
(2)當(dāng)△CPE≌△CPB 時，有BC=CE，∠B=∠PEC=120°，
∴∠CED=180°-∠AEP-∠PEC=30°，
∵∠ADC=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°-120°-30°=30°，
∴DE=CD，即△EDC是等腰三角形，
過D作DM⊥CE于M，則CM= CE，
在Rt△CMD中，∠ECD=30°，
∴cos30°= ，
∴CM= CD，
∴CE= CD，
∵BC=CE，AB=CD，
∴BC= AB，
則當(dāng)△CPE≌△CPB時，BC與AB滿足的關(guān)系為BC= AB.
21.(2013•南平)在矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，過E作EF⊥AC于F，G為線段AE的中點(diǎn)，連接BF、FG、GB.設(shè) =k.
(1)證明：△BGF是等腰三角形;
(2)當(dāng)k為何值時，△BGF是等邊三角形?
(3)我們知道：在一個三角形中，等邊所對的角相等;反過來，等角所對的邊也相等.事實(shí)上，在一個三角形中，較大的邊所對的角也較大;反之也成立.
利用上述結(jié)論，探究：當(dāng)△BGF分別為銳角、直角、鈍角三角形時，k的取值范圍.
21.解：(1)證明：∵EF⊥AC于點(diǎn)F，
∴∠AFE=90°[
∵在Rt△AEF中，G為斜邊AE的中點(diǎn)，
∴GF= AE，
在Rt△ABE中，同理可得BG= AE，
∴GF=GB，
∴△BGF為等腰三角形;
(2)當(dāng)△BGF為等邊三角形時，∠BGF=60°
∵GF=GB=AG，
∴∠BGE=2∠BAE，∠FGE=2∠CAE
∴∠BGF=2∠BAC，
∴∠BAC=30°，
∴∠ACB=60°，
∴ =tan∠ACB= ，
∴當(dāng)k= 時，△BGF為等邊三角形;
(3)由(1 )得△BGF為等腰三角形，由(2)得∠BAC= ∠BGF，
∴當(dāng)△BGF為銳角三角形時，∠BGF<90°，
∴∠BAC<45°，
∴AB>BC，
∴k= >1;
當(dāng)△BGF為直角三角形時，∠BGF=90°，
∴∠BAC=45°
∴AB=BC，
∴k= =1;
當(dāng)△BGF為鈍角三角形時，∠BGF>90°，
∴∠BAC>45°[
∴AB
∴k= <1;
∴0
22.(2013•德陽)如圖，已知AB是⊙O直徑，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作⊙O的切線與ED的延長線交于點(diǎn)P.
(1)求證：PC=PG
(2)點(diǎn)C在劣弧AD上運(yùn)動時，其他條件不變，若點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，試探究CG、BF、BO三者之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程;
(3)在滿足(2)的條件下，已知⊙O的半徑為5，若點(diǎn)O到BC的距離為 時，求弦ED的長.
22.(1)證明：連結(jié)OC，如圖，
∵PC為⊙O的切線，
∴OC⊥PC，
∴∠OCG+∠PCG=90°，
∵ED⊥AB，
∴∠B+∠BGF=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCG，
∴∠PCG=∠BGF，
而∠BGF=∠PGC，
∴∠PGC=∠PCG，
∴PC=PG;
(2)解：CG、BF、BO三者之間的數(shù)量關(guān)系為CG2=BO•BF.理由如下：
連結(jié)OG，如圖，
∵點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，
∴OG⊥BC，BG=CG，
∴∠OGB=90°，
∵∠OBG=∠GBF，
∴Rt△BOG∽Rt△BGF，
∴BG：BF=BO： BG，
∴BG2=BO•BF，
∴CG2=BO•BF;
(3)解：連結(jié)OE，如圖，
由(2)得BG⊥BC，
∴OG= ，
在Rt△OBG中，OB=5，
∴BG= =2 ，
由(2)得BG2=BO•BF，
∴BF= =4，
∴OF=1，
在Rt△OEF中，EF= =2 ，
∵AB⊥ED，
∴EF=DF，
∴DE=2EF=4 .
23.(2013•泉州)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)A(-6，0)，過點(diǎn)E(-2，0)作EF∥AB，交BO于F;
(1)求EF的長;
(2)過點(diǎn)F作直線l分別與直線AO、直線BC交于點(diǎn)H、G;
①根據(jù)上述語句，在圖1上畫出圖形，并證明 ;
②過點(diǎn)G作直線GD∥AB，交x軸于點(diǎn)D，以圓O為圓心，OH長為半徑在x軸上方作半圓(包括直徑兩端點(diǎn))，使它與GD有公共點(diǎn)P.如圖2所示，當(dāng)直線l繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時，點(diǎn)P也隨之運(yùn)動，證明： ，并通過操作、觀察，直接寫出BG長度的取值范圍(不必說理);
(3)在(2)中，若點(diǎn)M(2， )，探索2PO+PM的小值.
23.(1)解：解法一：在正方形OABC中，
∠FOE=∠BOA= ∠COA=45°.
∵EF∥AB，
∴∠FEO=∠BAO=90°，
∴∠EFO=∠FOE=45°，
又E(-2，0)，
∴EF=EO=2.
解法二：∵A(-6，0)，C(0，6)，E(-2，0)，
∴OA=AB=6，EO=2，
∵EF∥AB，
∴ ，即 ，
∴EF=6× =2.
(2)①畫圖，如答圖1所示：
證明：∵四邊形OABC是正方形，
∴OH∥BC，
∴△OFH∽△BFG，
∵EF∥AB，
②證明：∵半圓與GD交于點(diǎn)P，
∴OP=OH.
由①得： ，
又EO=2，EA=OA-EO=6-2=4，
∴ = .
通過操作、觀察可得，4≤BG≤12.
(3)解：由(2)可得： = ，
∴2OP+PM=BG+PM.
如答圖2所示，過點(diǎn)M作直線MN⊥AB于點(diǎn)N，交GD于點(diǎn)K，則四邊形BNKG為矩形，
∴NK=BG.
∴2OP+PM=BG+PM=NK+PM≥NK+KM，
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)K重合，即當(dāng)點(diǎn)P在直線MN上時，等號成立.
又∵NK+KM≥MN=8，
當(dāng)點(diǎn)K在線段MN上時，等號成立.
∴當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上時，2OP+PM的值小，小值為8.
24.(2013•梅州)用如圖①，②所示的兩個直角三角形(部分邊長及角的度數(shù)在圖中已標(biāo)出)，完成以下兩個探究問題：
探究一：將以上兩個三角形如圖③拼接(BC和ED重合)，在BC邊上有一動點(diǎn)P.
(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到∠CFB的角平分線上時，連接AP，求線段AP的長;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動的過程中出現(xiàn)PA=FC時，求∠PAB的度數(shù).
探究二：如圖④，將△DEF的頂點(diǎn)D放在△ABC的BC邊上的中點(diǎn)處，并以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)△DEF，使△DEF的兩直角邊與△ABC的兩直角邊分別交于M、N兩點(diǎn)，連接MN.在旋轉(zhuǎn)△DEF的過程中，△AMN的周長是否存在有小值?若存在，求出它的小值;若不存在，請說明理由.
1.下列各數(shù)：π2，0，9，0.23•，cos60°，227，0.030 030 003…，1-2中，無理數(shù)有( )
A.2 個 B.3 個 C.4 個 D.5 個
2.在平面直角坐標(biāo)系中，下面的點(diǎn)在第四象限的是( )
A.(1,3) B.(0，-3)
C.(-2，-3) D.(π，-1)
3.下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( )
4.形狀相同、大小相等的兩個小木塊放置于桌面，其俯視圖如圖J21，則其正視圖是( )
5.如圖J22，△ABC與△A′B′C′是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，若OA=2AA′，S△ABC=8，則S△A′B′C′=( )
A.9 B.16 C.18 D.24
圖J22 圖J23
6.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖J23，給出以下結(jié)論：
①因?yàn)閍>0，所以函數(shù)y有大值;
②該函數(shù)圖象關(guān)于直線x=-1對稱;
③當(dāng)x=-2時，函數(shù)y的值大于0;
④當(dāng)x=-3或x=1時，函數(shù)y的值都等于0.
其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
7.如圖J24，直線l與直線a，b相交.若a∥b，∠1=70°，則∠2的度數(shù)是________.
圖J24 圖J25
8.已知某種型號的紙100張厚度約為1 cm，那么這種型號的紙13億張厚度約為____________km.
9.菱形OACB在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖J25，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(6,0)，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是1，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是________.
10.函數(shù)y=1-kx的圖象與直線y=x沒有交點(diǎn)，那么k的取值范圍是____________.
三、解答題(本大題共5小題，每小題10分，共50分)
11.化簡：x-1x÷x-2x-1x.
12.如圖J26，放置在水平桌面上的臺燈的燈臂AB長為40 cm，燈罩BC長為30 cm，底座厚度為2 cm，燈臂與底座構(gòu)成的∠BAD=60°.使用發(fā)現(xiàn)，光線佳時燈罩BC與水平線所成的角為30°，此時燈罩頂端C到桌面的高度CE是多少厘米?(結(jié)果精確到0.1 cm，參考數(shù)據(jù)：3≈1.732)
13.已知：關(guān)于x的一元二次方程：x2-2mx+m2-4=0.
(1)求證：這個方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)當(dāng)拋物線y=x2-2mx+m2-4與x軸的交點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)，且到原點(diǎn)的距離相等時，求此拋物線的解析式.
14.某校為了解本校八年級學(xué)生的課外閱讀喜好，隨機(jī)抽取部分該校八年級學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查(每人只選一種書籍)，圖J27是整理數(shù)據(jù)后畫的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請你根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：
(1)這次活動一共調(diào)查了________名學(xué)生;
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“其他”所在的扇形圓心角為________;
(3)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(4)若該校八年級有600人，請你估計(jì)喜歡“科普常識”的學(xué)生有________人.
15.如圖J28，在⊙O中，弦BC垂直于半徑OA，垂足為E，點(diǎn)D是優(yōu)弧上的一點(diǎn)，連接BD，AD，OC，∠ADB=30°.
(1)求∠AOC的度數(shù);
(2)若弦BC=6 cm，求圖中陰影部分的面積.
三、解答題
11.(2013•茂名)如圖，在▱ABCD 中，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，DE與CB的延長線交于點(diǎn)F.[來
(1)求證：△ADE≌△BFE;
(2)若DF平分∠ADC，連接CE.試判斷CE和DF的位置關(guān)系，并說明理由.
11.解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC.
又∵點(diǎn)F在CB的延長線上，
∴AD∥CF，
∴∠1=∠2.
∵點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，
∴AE=BE.
∵在△ADE與△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE(AAS);
(2)解：CE⊥DF.理由如下：
如圖，連接CE.
由(1)知，△ADE≌△BFE，
∴DE=FE，即點(diǎn)E是DF的中點(diǎn)，∠1=∠2.
∵DF平分∠ADC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴CD=CF，
∴CE⊥DF.
12.(2013•白銀)如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長線于點(diǎn)F，且AF=BD，連接BF.
(1)BD與CD有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由;
(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形?并說明理由.
12.解：(1)BD=CD.
理由如下：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中點(diǎn)，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中， ，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD;
(2)當(dāng)△ABC滿足：AB=AC時，四邊形AFBD是矩形.
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四邊形AFBD是平行四邊形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴▱AFBD是矩形.
13.(2013•無錫)如圖，四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，在①AB∥CD;②AO=CO;③AD=BC中任意選取兩個作為條件，“四邊形ABCD是平行四邊形”為結(jié)論構(gòu)造命題.
(1)以①②作為條件構(gòu)成的命題是真命題嗎?若是，請證明;若不是，請舉出反例;
( 2)寫出按題意構(gòu)成的所有命題中的假命題，并舉出反例加以說明.(命題請寫成“如果…，那么….”的形式)
13.(1)以①②作為條件構(gòu)成的命題是真命題，
證明：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴ ，
∵AO=OC，
∴OB=OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
(2)根據(jù)①③作為條件構(gòu)成的命題是假命題，即如果有一組對邊平行，而另一組對邊相等的四邊形時平行四邊形，如等腰梯形符合，但不是平行四邊形;
根據(jù)②③作為條件構(gòu)成的命題是假命題，即如果一個四邊形ABCD的對角線交于O，且OA=OC，AD=BC，那么這個四邊形時平行四邊形，如圖，
根據(jù)已知不能推出OB=OD或AD∥BC或AB=DC，即四邊形不是平行四邊形.
14.(2013•寧波)已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(1，0)，B(3，0)，且過點(diǎn)C(0，-3).
(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)請你寫出一種平移的方法，使平移后拋物線的頂點(diǎn)落在直線y=-x上，并寫出平移后拋物線的解析式.
14.解：(1)∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A(1，0)，B(3，0)，
可設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)(x-3)，
把C(0，-3)代入得：3a=-3，
解得：a=-1，
故拋物線解析式為y=-(x-1)(x-3)，
即y=-x2+4x-3，
∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)(2，1);
(2)先向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得到的拋物線的解析式為y=-x2，平移后拋物線的頂點(diǎn)為(0，0)落在直線y=-x上.
15.(2013•涼山州)先閱讀以下材料，然后解答問題：
材料：將二次函數(shù)y=-x2+2x+3的圖象向左平移1個單位，再向下平移2個單位，求平移后的拋物線的解析式(平移后拋物線的形狀不變).
解：在拋物線y=-x2+2x+3圖象上任取兩點(diǎn)A(0，3)、B(1，4)，由題意知：點(diǎn)A向左平移1個單位得到A′(-1，3)，再向下平移2個單位得到A″(-1，1);點(diǎn)B向左平移1個單位得到B′(0，4)，再向下平移2個單位得到B″(0，2).
設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=-x2+bx+c.則點(diǎn)A″(-1，1)，B″(0，2)在拋物線上.可得：
，解得： .所 以平移后的拋物線的解析式為：y=-x2+2.
根據(jù)以上信息解答下列問題：
將直線y=2x-3向右平移3個單位，再向上平移1個單位，求平移后的直線的解析式.
15.解：在直線y=2x-3上任取一點(diǎn)A(0，-3)，由題意知A向右平移3個單位，再向上平移1個單位得到A′(3，-2)，
設(shè)平移后的解析式為y=2x+b，
則A′(3，-2)在y=2x+b的解析式上，
-2=2×3+b，
解得：b=-8，
所以平移后的直線的解析式為y=2x-8.
16.(2013•湖州)一節(jié)數(shù)學(xué)課后，老師布置了一道課后練習(xí)題：
如圖，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于點(diǎn)O，點(diǎn)PD分別在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于點(diǎn)E，求證：△BPO≌△PDE.
(1)理清思路，完成解答(2)本題證明的思路可用下列框圖表示：
根據(jù)上述思路，請你完整地書寫本題的證明過程.
(2)特殊位置，證明結(jié)論
若PB平分∠ABO，其余條件不變.求證：AP=CD.
(3)知識遷移，探索新知
若點(diǎn)P是一個動點(diǎn)，點(diǎn)P運(yùn)動到OC的中點(diǎn)P′時，滿足題中條件的點(diǎn)D也隨之在直線BC上運(yùn)動到點(diǎn)D′，請直接寫出CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系.(不必寫解答過程)
16.(1)證明：∵PB=PD，
∴∠2=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠C=45°，
∵∠3=∠PBO-∠1，∠4=∠2-∠C，
∴∠3=∠4，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中
，
∴△BPO≌△PDE(AAS);
(2)證明：由(1)可得：∠3=∠4，
∵BP平分∠ABO，
∴∠ABP=∠3，
∴∠A BP=∠4，]
在△ABP和△CPD中
。
∴△ABP≌△CPD(AAS)，
∴AP=CD.
(3)解：CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系是CD′= AP′.
理由是：如圖，
設(shè)OP=PC=x，則AO=OC=2x=BO，
則AP=2x+x=3x，
由(2)知BO=PE，
PE=2x，CE=2x-x=x，
∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，
∴DE=x，由勾股定理得：CD= x，
即AP=3x，CD= x，
∴CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系是CD′= AP′
17.(2013•淄博)分別以▱ABCD(∠CDA≠90°)的三邊AB，CD，DA為斜邊作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF.
(1)如圖1，當(dāng)三個等腰直角三角形都在該平行四邊形外部時，連接GF，EF.請判斷GF與EF的關(guān)系(只寫結(jié)論，不需證明);
(2)如圖2，當(dāng)三個等腰直角三角形都在該平行四邊形內(nèi)部時，連接GF，EF，(1)中結(jié)論還成立嗎?若成立，給出證明;若不成立，說明理由.
17.解：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=C D，∠DAB+∠ADC=180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，
∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA，
∠EAF=360°-∠BAE-∠DAF-∠BAD=270°-(180°-∠CDA)=90°+∠CDA，X k b 1 . c o m
∴∠FDG=∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
，
∴△EAF≌△GDF(SAS)，
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，
∴∠GFE=90°，
∴GF⊥EF;
(2)GF⊥EF，GF=EF成立;
理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，
∴∠BAE+∠FDA+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°，
∴∠EAF+∠CDF=45°，
∵∠CDF+∠GDF=45°，
∴∠FDG=∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
，
∴△EAF≌△GDF(SAS)，
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，
∴∠GFE=90°，
∴GF⊥EF.
18.(2013•張家界)如圖，△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個動點(diǎn)，過O作直線MN∥BC.設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F.
(1)求證：OE=OF;
(2)若CE=12，CF=5，求OC的長;
(3)當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動到什么位置時，四邊形AECF是矩形?并說明理由.
18.(1)證明：如圖，[
∵M(jìn)N交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F，
∴∠2=∠5，4=∠6，
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠1=∠5，3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，F(xiàn)O=CO，
∴OE=OF;
(2)∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=12，CF=5，
∴EF= =13，
∴OC= EF=6.5;
(3)答：當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動到AC中點(diǎn)時，四邊形AECF是矩形.
證明：當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四邊形AECF是矩形.
19.(2013•衡陽)如圖，P為正方形ABCD的邊AD上的一個動點(diǎn)，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分別為點(diǎn)E、F，已知AD=4.
(1)試說明AE2+CF2的值是一個常數(shù);
(2)過點(diǎn)P作PM∥FC交CD于點(diǎn)M，點(diǎn)P在何位置時線段DM長，并求出此時DM的值.
19.解：(1)由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，
∴∠ABE=∠BCF，
∵在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF(AAS)，
∴AE=BF，
∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16為常數(shù);
(2)設(shè)AP=x，則PD=4-x，
由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，
∴△PDM∽△BAP，
∴ ，
即 ，
∴DM= ，
當(dāng)x=2時，DM有大值為1.
20.(2013•寧夏)在▱ABCD中，P是AB邊上的任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)作PE⊥AB，交AD于E，連結(jié)CE，CP.已知∠A=60°;
(1)若BC=8，AB=6，當(dāng)AP的長為多少時，△CPE的面積大，并求出面積的大值.
(2)試探究當(dāng)△CPE≌△CPB時，▱ABCD的兩邊AB與BC應(yīng)滿足什么關(guān)系?
20.解：(1)如圖，延長PE交CD的延長線于F，
設(shè)AP=x，△CPE的面積為y，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB=DC=6，AD=BC=8，
∵Rt△APE，∠A= 60°，
∴∠PEA=30°，
∴AE=2x，PE= x，
在Rt△DEF中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=AD-AE=8-2x，
∴DF= DE=4-x，
∵AB∥CD，PF⊥AB，
∴PF⊥CD，
∴S△CPE= PE•CF，
即y= × x×(10-x)=- x2+5 x，
配方得：y=- (x-5)2+ ，
當(dāng)x=5時，y有大值 ，
即AP的長為5時，△CPE的面積大，大面積是 ;
(2)當(dāng)△CPE≌△CPB 時，有BC=CE，∠B=∠PEC=120°，
∴∠CED=180°-∠AEP-∠PEC=30°，
∵∠ADC=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°-120°-30°=30°，
∴DE=CD，即△EDC是等腰三角形，
過D作DM⊥CE于M，則CM= CE，
在Rt△CMD中，∠ECD=30°，
∴cos30°= ，
∴CM= CD，
∴CE= CD，
∵BC=CE，AB=CD，
∴BC= AB，
則當(dāng)△CPE≌△CPB時，BC與AB滿足的關(guān)系為BC= AB.
21.(2013•南平)在矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，過E作EF⊥AC于F，G為線段AE的中點(diǎn)，連接BF、FG、GB.設(shè) =k.
(1)證明：△BGF是等腰三角形;
(2)當(dāng)k為何值時，△BGF是等邊三角形?
(3)我們知道：在一個三角形中，等邊所對的角相等;反過來，等角所對的邊也相等.事實(shí)上，在一個三角形中，較大的邊所對的角也較大;反之也成立.
利用上述結(jié)論，探究：當(dāng)△BGF分別為銳角、直角、鈍角三角形時，k的取值范圍.
21.解：(1)證明：∵EF⊥AC于點(diǎn)F，
∴∠AFE=90°[
∵在Rt△AEF中，G為斜邊AE的中點(diǎn)，
∴GF= AE，
在Rt△ABE中，同理可得BG= AE，
∴GF=GB，
∴△BGF為等腰三角形;
(2)當(dāng)△BGF為等邊三角形時，∠BGF=60°
∵GF=GB=AG，
∴∠BGE=2∠BAE，∠FGE=2∠CAE
∴∠BGF=2∠BAC，
∴∠BAC=30°，
∴∠ACB=60°，
∴ =tan∠ACB= ，
∴當(dāng)k= 時，△BGF為等邊三角形;
(3)由(1 )得△BGF為等腰三角形，由(2)得∠BAC= ∠BGF，
∴當(dāng)△BGF為銳角三角形時，∠BGF<90°，
∴∠BAC<45°，
∴AB>BC，
∴k= >1;
當(dāng)△BGF為直角三角形時，∠BGF=90°，
∴∠BAC=45°
∴AB=BC，
∴k= =1;
當(dāng)△BGF為鈍角三角形時，∠BGF>90°，
∴∠BAC>45°[
∴AB
∴k= <1;
∴0
22.(2013•德陽)如圖，已知AB是⊙O直徑，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作⊙O的切線與ED的延長線交于點(diǎn)P.
(1)求證：PC=PG
(2)點(diǎn)C在劣弧AD上運(yùn)動時，其他條件不變，若點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，試探究CG、BF、BO三者之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程;
(3)在滿足(2)的條件下，已知⊙O的半徑為5，若點(diǎn)O到BC的距離為 時，求弦ED的長.
22.(1)證明：連結(jié)OC，如圖，
∵PC為⊙O的切線，
∴OC⊥PC，
∴∠OCG+∠PCG=90°，
∵ED⊥AB，
∴∠B+∠BGF=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCG，
∴∠PCG=∠BGF，
而∠BGF=∠PGC，
∴∠PGC=∠PCG，
∴PC=PG;
(2)解：CG、BF、BO三者之間的數(shù)量關(guān)系為CG2=BO•BF.理由如下：
連結(jié)OG，如圖，
∵點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，
∴OG⊥BC，BG=CG，
∴∠OGB=90°，
∵∠OBG=∠GBF，
∴Rt△BOG∽Rt△BGF，
∴BG：BF=BO： BG，
∴BG2=BO•BF，
∴CG2=BO•BF;
(3)解：連結(jié)OE，如圖，
由(2)得BG⊥BC，
∴OG= ，
在Rt△OBG中，OB=5，
∴BG= =2 ，
由(2)得BG2=BO•BF，
∴BF= =4，
∴OF=1，
在Rt△OEF中，EF= =2 ，
∵AB⊥ED，
∴EF=DF，
∴DE=2EF=4 .
23.(2013•泉州)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)A(-6，0)，過點(diǎn)E(-2，0)作EF∥AB，交BO于F;
(1)求EF的長;
(2)過點(diǎn)F作直線l分別與直線AO、直線BC交于點(diǎn)H、G;
①根據(jù)上述語句，在圖1上畫出圖形，并證明 ;
②過點(diǎn)G作直線GD∥AB，交x軸于點(diǎn)D，以圓O為圓心，OH長為半徑在x軸上方作半圓(包括直徑兩端點(diǎn))，使它與GD有公共點(diǎn)P.如圖2所示，當(dāng)直線l繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時，點(diǎn)P也隨之運(yùn)動，證明： ，并通過操作、觀察，直接寫出BG長度的取值范圍(不必說理);
(3)在(2)中，若點(diǎn)M(2， )，探索2PO+PM的小值.
23.(1)解：解法一：在正方形OABC中，
∠FOE=∠BOA= ∠COA=45°.
∵EF∥AB，
∴∠FEO=∠BAO=90°，
∴∠EFO=∠FOE=45°，
又E(-2，0)，
∴EF=EO=2.
解法二：∵A(-6，0)，C(0，6)，E(-2，0)，
∴OA=AB=6，EO=2，
∵EF∥AB，
∴ ，即 ，
∴EF=6× =2.
(2)①畫圖，如答圖1所示：
證明：∵四邊形OABC是正方形，
∴OH∥BC，
∴△OFH∽△BFG，
∵EF∥AB，
②證明：∵半圓與GD交于點(diǎn)P，
∴OP=OH.
由①得： ，
又EO=2，EA=OA-EO=6-2=4，
∴ = .
通過操作、觀察可得，4≤BG≤12.
(3)解：由(2)可得： = ，
∴2OP+PM=BG+PM.
如答圖2所示，過點(diǎn)M作直線MN⊥AB于點(diǎn)N，交GD于點(diǎn)K，則四邊形BNKG為矩形，
∴NK=BG.
∴2OP+PM=BG+PM=NK+PM≥NK+KM，
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)K重合，即當(dāng)點(diǎn)P在直線MN上時，等號成立.
又∵NK+KM≥MN=8，
當(dāng)點(diǎn)K在線段MN上時，等號成立.
∴當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上時，2OP+PM的值小，小值為8.
24.(2013•梅州)用如圖①，②所示的兩個直角三角形(部分邊長及角的度數(shù)在圖中已標(biāo)出)，完成以下兩個探究問題：
探究一：將以上兩個三角形如圖③拼接(BC和ED重合)，在BC邊上有一動點(diǎn)P.
(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到∠CFB的角平分線上時，連接AP，求線段AP的長;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動的過程中出現(xiàn)PA=FC時，求∠PAB的度數(shù).
探究二：如圖④，將△DEF的頂點(diǎn)D放在△ABC的BC邊上的中點(diǎn)處，并以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)△DEF，使△DEF的兩直角邊與△ABC的兩直角邊分別交于M、N兩點(diǎn)，連接MN.在旋轉(zhuǎn)△DEF的過程中，△AMN的周長是否存在有小值?若存在，求出它的小值;若不存在，請說明理由.