一、選擇題（共6小題，每小題3分，滿分18分）
1．如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A． CB=CD B． ∠BAC=∠DAC C． ∠BCA=∠DCA D． ∠B=∠D=90°
2．下列說法中，錯誤的是（ ）
A． 任意兩條相交直線都組成一個軸對稱圖形
B． 等腰三角形最少有1條對稱軸，最多有3條對稱軸
C． 成軸對稱的兩個三角形一定全等
D． 全等的兩個三角形一定成軸對稱
3．下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（ ?。?BR> A． 12、15、18 B． 0.3、0.4、0.5 C． 1.5、3、2.5 D． 12、16、20
4．一個三角形的三個外角之比為3：3：2，則這個三角形是（ ）
A． 等腰三角形 B． 等腰直角三角形
C． 直角三角形 D． 等邊三角形
5．和三角形三條邊距離相等的點是（ ）
A． 三條角平分線的交點 B． 三邊中線的交點
C． 三邊上高所在直線的交點 D． 三邊的垂直平分線的交點
6．如圖，三角形ABC中，∠A的平分線交BC于點D，過點D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，下面四個結論：
①∠AFE=∠AEF；
②AD垂直平分EF；
③ ；
④EF一定平行BC．
其中正確的是（ ?。?BR> A． ①②③ B． ②③④ C． ①③④ D． ①②③④
二、填空題（共10小題，每小題3分，滿分30分）
7．在等腰三角形ABC中，∠A=120°，則∠C= ?。?BR> 8．等腰三角形的兩邊長為4，9．則它的周長為 ．
9．已知△ABC的三邊長分別為9、12、15，則最長邊上的中線長為 ?。?BR> 10．如圖，一張長方形紙片寬AB=8cm，長BC=10cm，現(xiàn)將紙片折疊，使頂點D落在BC邊上的點F處（折痕為AE），則EC= ?。?BR> 11．已知如圖，∠B=∠C=90°，E是BC的中點，DE平分∠ADC，∠CED=35°，則∠EAB是 度．
12．小明想知道學校旗桿有多高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還余1m，當他把繩子下端拉開5m后，發(fā) 現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿高度為 米．
13．如圖，我國古代數(shù)學家得出的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構成的大正方形，若小正方形與大正方形的面積分別是為1、13，則直角三角形兩直角邊和a+b= ?。?BR> 14．如圖，已知AB∥CF，E為DF的中點，若AB=9cm，CF=5cm，則BD= cm．
15．如圖，D是等邊△ABC的AC邊上的中點，點E在BC的延長線上，DE=DB，△ABC的周長是9，則∠E= °，CE= ．
16．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，點D是AB的中點，E、F在射線AC與射線CB上運動，且滿足AE=CF；當點E運動到與 點C的距離為1時，則△DEF的面積= ?。?BR> 三、解答題（共10小題，滿分102分）
17．作圖一：
如圖1，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，四邊形ABCD的四個頂點都在小正方形的頂點上，點E在BC邊上，且點E在小正方形的頂點上，連接AE．
（1）在圖中畫出△AEF，使△AEF與△AEB關于直線AE對稱，點F與點B是對稱點；
（2）請直接寫出△AEF與四邊形ABCD重疊部分的面積 ?。?BR> 作圖二：
如圖2，△ABC與△DEF關于直線l對稱，請僅用無刻度的直尺，在圖2中作出直線l．（保留作圖痕跡）
18．如圖，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，DB=9．求∠ACB的度數(shù)．
19．如圖，△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分線DE交AB、AC于E、D．
①若△BCD的周長為8，求BC的長；
②若BD平分∠ABC，求∠BDC的度數(shù)．
20．已知，如圖所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，求證：DE=DF．
21．如圖所示，A、B兩村在河岸CD的同側，A、B兩村到河岸的距離分別為AC=1km，BD=3km，又CD=3km，現(xiàn)要在河岸CD上建一水廠向A、B兩村輸送自來水，鋪設水管的工程費用為每千米20000元，請你在CD上選擇水廠的位置O，使鋪設水管的費用最省，并求出鋪設水管的總費用．
22．如圖，在△ABC中，點E在AB上，點D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD與CE相交于點F，試判斷△AFC的形狀，并說明理由．
23．如圖，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分別是AC、BD的中點．求證：MN⊥BD．
24．如圖，∠ABC=90°，D、E分別在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，點F是AE的中點，F(xiàn)D與AB相交于點M．
（1）求證：∠FMC=∠FCM；
（2）AD與MC垂直嗎？并說明理由．
25．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=100cm，BC=80cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度運動，同時，另一點Q由點B開始沿BC邊向點C以1.5cm/s的速度運動．
（1）20s后，點P與點Q之間相距 cm．
（2）在（1）的條件下，若P、Q兩點同時相向而行， 秒后兩點相遇．
（3）多少秒后，AP=CQ？
26．如圖，已知點A是線段OB的垂直平分線上一點，AN⊥ON，BO⊥ON，P為ON上一點，∠OPB=∠OAB．
（1）若∠AOB=60°，PB=4，則OP= ??；
（2）在（1）的條件下，求證：PA+PO=PB；
（3）如圖②，若ON=5，求出PO+PB的值．
2014-2015學年江蘇省泰州市高港實驗中學八年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共6小題，每小題3分，滿分18分）
1．如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是（ ?。?BR> A． CB=CD B． ∠BAC=∠DAC C． ∠BCA=∠DCA D． ∠B=∠D=90°
考點： 全等三角形的判定．
分析： 本題要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共邊，具備了兩組邊對應相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分別根據(jù)SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后則不能．
解答： 解：A、添加CB=CD，根據(jù)SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A選項不符合題意；
B、添加∠BAC=∠DAC，根據(jù)SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B選項不符合題意；
C、添加∠BCA=∠DCA時，不能判定△ABC≌△ADC，故C選項符合題意；
D、添加∠B=∠D=90°，根據(jù)HL，能判定△ABC≌△ADC，故D選項不符合題意；
故選：C．
點評： 本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
2．下列說法中，錯誤的是（ ）
A． 任意兩條相交直線都組成一個軸對稱圖形
B． 等腰三角形最少有1條對稱軸，最多有3條對稱軸
C． 成軸對稱的兩個三角形一定全等
D． 全等的兩個三角形一定成軸對稱
考點： 軸對稱圖形．
分析： 根據(jù)軸對稱圖形，軸對稱的定義和性質(zhì)分析找出錯誤選項．
解答： 解：A、正確，任意兩條相交直線的夾角平分線是其對稱軸，都能組成一個軸對稱圖形．
B、正確，等腰三角形有1條對稱軸，等腰三角形三條邊都相等時有3條對稱軸；
C、正確，根據(jù)成軸對稱的性質(zhì)可知；
D、錯誤，全等的兩個三角形不一定成軸對稱．
故選D．
點評： 本題考查了軸對稱圖形，軸對稱以及對稱軸的定義和應用．關于某條直線對稱的一個圖形叫軸對稱圖形．直線兩旁的部分能夠互相重合的兩個圖形叫做這兩個圖形成軸對稱．
3．下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（ ）
A． 12、15、18 B． 0.3、0.4、0.5 C． 1.5、3、2.5 D． 12、16、20
考點： 勾股數(shù)．
分析： 根據(jù)凡是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)是勾股數(shù)，分別對每個選項進行驗證即可解題．
解答： 解：A、∵122+152≠182，∴A錯誤，
B、∵0.32+0.42=0.52，但0.3、0.4、0.5不是正整數(shù)，∴B錯誤；
C、∵1.52+2.52≠32，∴C錯誤；
D、∵122+162=202，∴D正確；
故選 D．
點評： 本題考查了勾股數(shù)的判定，根據(jù)勾股數(shù)是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)解題是解題的關鍵．
4．一個三角形的三個外角之比為3：3：2，則這個三角形是（ ?。?BR> A． 等腰三角形 B． 等腰直角三角形
C． 直角三角形 D． 等邊三角形
考點： 三角形的外角性質(zhì)．
分析： 根據(jù)三角形的外角和等于360°求出三個外角，再求出三個內(nèi)角，即可得出答案．
解答： 解：∵三角形的三個外角之比為3：3：2，
∴三角形的三個外角的度數(shù)為：135°，135°，90°，
∴三角形對應的內(nèi)角度數(shù)為45°， 45°，90°，
∴此三角形是等腰直角三角形，
故選B．
點評： 本題考查了三角形的外角和三角形的內(nèi)角和定理的應用，解此題的關鍵是求出各個內(nèi)角的度數(shù)．
5．和三角形三條邊距離相等的點是（ ）
A． 三條角平分線的交點 B． 三邊中線的交點
C． 三邊上高所在直線的交點 D． 三邊的垂直平分線的交點
考點： 角平分線的性質(zhì)．
分析： 題目要求到三邊距離相等，可兩兩分別思考，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等可得答案．
解答： 解：中線交點即三角形的重心，三角形重心到一個頂點的距離等于它到對邊中點距離的2倍，B錯誤；
高的交點是三角形的垂心，到三邊的距離不相等，C錯誤；
線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等，D錯誤；
∵角平分線上的點到角兩邊的距離相等，
∴要到三角形三條邊距離相等的點，只能是三條角平分線的交點，A正確．
故選A．
點評： 本題考查了角平分線的性質(zhì)；熟練掌握三角形中角平分線，重心，垂心，垂直平分線的性質(zhì)，是解答本題的關鍵．
6．如圖，三角形ABC中，∠A的平分線交BC于點D，過點D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，下面四個結論：
①∠AFE=∠AEF；
②AD垂直平分EF；
③ ；
④EF一定平行BC．
其中正確的是（ ?。?BR> A． ①②③ B． ②③④ C． ①③④ D． ①②③④
考點： 角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．
分析： 由三角形ABC中，∠A的平分線交BC于點D，過點D作DE⊥AC，DF⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得DE=DF，∠ADE=∠ADF，又由角平分線的性質(zhì)，可得AF=AE，繼而證得①∠AFE=∠AEF；又由線段垂直平分線的判定，可得②AD垂直平分EF；然后利用三角形的面積公式求解即可得③ ．
解答： 解：①∵三角形ABC中，∠A的平分線交BC于點D，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠ADE=∠ADF，DF=DE，
∴AF=AE，
∴∠AFE=∠AEF，故正確；
②∵DF=DE，AF=AE，
∴點D在EF的垂直平分線上，點A在EF的垂直平分線上，
∴AD垂直平分EF，故正確；
③∵S△BFD= BF•DF，S△CDE= CE•DE，DF=DE，
∴ ；故正確；
④∵∠EFD不一定等于∠BDF，
∴EF不一定平行BC．故錯誤．
故選A．
點評： 此題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．
二、填空題（共10小題，每小題3分，滿分30分）
7．在等腰三角形ABC中，∠A=120°，則∠C= 30° ．
考點： 等腰三角形的性質(zhì)．
分析： 首先根據(jù)∠A的度數(shù)判斷∠A是頂角，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理不能求得底角∠C的度數(shù)．
解答： 解：∵等腰△ABC中，∠A=120°，
∴∠A為頂角，
∴∠C= （180°﹣∠A）= （180°﹣120°）=30°．
故答案為：30°．
點評： 本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；利用三角形的內(nèi)角和求角度是一種很重要的方法，要熟練掌握．
8．等腰三角形的兩邊長為4，9．則它的周長為 22?。?BR> 考點： 等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關系．
分析： 由于題目沒有說明4和9，哪個是底哪個是腰，所以要分類討論．
解答： 解：當腰長為4，底長為9時；4+4＜9，不能構成三角形；
當腰長為9，底長為4時；9﹣4＜9＜9+4，能構成三角形；
故等腰三角形的周長為：9+9+4=22．
故填22．
點評： 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關系；對于底和腰不等的等腰三角形，若條 件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時，應在符合三角形三邊關系的前提下分類討論．
9．已知△ABC的三邊長分別為9、12、15，則最長邊上的中線長為 7.5 ．
考點： 直角三角形斜邊上的中線；勾股定理的逆定理．
分析： 利用勾股定理逆定理判斷出△ABC是直角三角形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答．
解答： 解：∵92+122=225=152，
∴△ABC是直角三角形，
∴最長邊上的中線長= ×15=7.5．
故答案為：7.5．
點評： 本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理逆定理，熟記性質(zhì)并判斷出三角形是直角三角形是解題的關鍵．
10．如圖，一張長方形紙片寬AB=8cm，長BC=10cm，現(xiàn)將紙片折疊，使頂點D落在BC邊上的點F處（折痕為AE），則EC= 3?。?BR> 考點： 翻折變換（折疊問題）．
分析： 首先根據(jù)勾股定理求出BF的長，進而求出FC的長；再次根據(jù)勾股定理，列出關于線段EF的方程，求出EF的長度，即可解決問題．
解答： 解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠B=90°，AD=BC=10；DC=AB=8；
由題意得：AF=AD=10，EF=ED=λ，
則EC=8﹣λ；
由勾股定理得：
BF2=102﹣82=36，
∴BF=6，CF=10﹣6=4；
由勾股定理得：
λ2=42+（8﹣λ）2，
解得：λ=5，EC=8﹣5=3，
故答案為：3．
點評： 該題主要考查了翻折變換及其性質(zhì)的應用問題；解題的關鍵是靈活運用有關定理來分析、判斷、推理或解答．
11．（3分）（2014秋• 泰州校級期中）已知如圖，∠B=∠C=90°，E是BC的中點，DE平分∠ADC，∠CED=35°，則∠EAB是 35 度．
考點： 角平分線的性質(zhì)．
分析： 過點E作EF⊥AD，證明△ABE≌△AFE，再求得∠CDE=90°﹣35°=55°，進而得到∠CDA和∠DAB的度數(shù)，即可求得∠EAB的度數(shù)．
解答： 解：過點E作EF⊥AD，
∵DE平分∠ADC，且E是BC的中點，
∴CE=EB=EF，
又∵∠B=90°，且AE=AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴∠EAB=∠EAF．
又∵∠CED=35°，∠C=90°，
∴∠CDE=90°﹣35°=55°，
∴∠CDA=110°，
∵∠B=∠C=90°，
∴DC∥AB，
∴∠CDA+∠DAB=180°，
∴∠DAB=70°，
∴∠EAB=35°．
故答案為：35．
點評： 本題考查了角平分線的性質(zhì)，解答此題的關鍵是根據(jù)題意作出輔助線EF⊥AD，構造出全等三角形，再由全等三角形的性質(zhì)解答．
12．小明想知道學校旗桿有多高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還余1m，當他把繩子下端拉開5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿高度為 12 米．
考點： 勾股定理的應用．
專題： 應用題．
分析： 由題可知，旗桿，繩子與地面構成直角三角形，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，用勾股定理即可解答．
解答： 解：設旗桿高xm，則繩子長為（x+1）m，∵旗桿垂直于地面，
∴旗桿，繩子與地面構成直角三角形，由題意列式為x2+52=（x+1）2，解得x=12m．
點評： 此題很簡單，只要熟知勾股定理即可解答．
13．如圖，我國古代數(shù)學家得出的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構成的大正方形，若小正方形與大正方形的面積分別是為1、13，則直角三角形兩直角邊和a+b= 5?。?BR> 考點： 勾股定理的證明．
分析： 根據(jù)大正方形的面積即可求得c2，利用勾股定理可以得到 a2+b2=c2，然后求得直角三角形的面積即可求得ab的值，根據(jù)（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab即可求解．
解答： 解：∵大正方形的面積是13，
∴c2=13，
∴a2+b2=c2=13，
∵直角三角形的面積是 =3，
又∵直角三角形的面積是 ab=3，
∴ab=6，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25．
∴a+b=5（舍去負值）．
故答案是：5．
點評： 本題考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展開：（a+b）2=a2+b2+2ab，還要注意圖形的面積和a，b之間的關系．
14．如圖，已知AB∥CF，E為DF的中點，若AB=9cm，CF=5cm，則BD= 4 cm．
考點： 全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．
專題： 計算題．
分析： 先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠ADE=∠EFC，再由ASA可求出△ADE≌△CFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求出AD的長，再由AB=9cm即可求出BD的長．
解答： 解：∵AB∥CF，
∴∠ADE=∠EFC，
∵∠AED=∠FEC，E為DF的中點，
∴△ADE≌△CFE，
∴AD=CF=5cm，
∵AB=9cm，
∴BD=9﹣5=4cm．
故填4．
點評： 本題考查的是平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定定理及性質(zhì)，比較簡單．
15．如圖，D是等邊△ABC的AC邊上的中點，點E在BC的延長線上，DE=DB，△ABC的周長是9，則∠E= 30 °，CE= ?。?BR> 考點： 等邊三角形的性質(zhì)．
專題： 綜合題．
分析： 由△ABC為等邊三角形，且BD為邊AC的中線，根據(jù)“三線合一”得到BD平分∠ABC，而∠ABC為60°，得到∠DBE為30°，又因為DE=DB，根據(jù)等邊對等角得到∠E與∠DBE相等，故∠E也為30°；
由等邊三角形的三邊相等且周長為9，求出AC的長為3，且∠ACB為60°，根據(jù)∠ACB為△DCE的外角，根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和，求出∠CDE也為30°，根據(jù)等角對等邊得到CD=CE，都等于邊長AC的一半，從而求出CE的值．
解答： 解：∵△ABC為等邊三角形，D為AC邊上的中點，
∴BD為∠ABC的平分線，且∠ABC=60°，
即∠DBE=30°，又DE=DB，
∴∠E=∠DBE=30°，
∵等邊△ABC的周長為9，∴AC=3，且∠ACB=60°，
∴∠CDE=∠ACB﹣∠E=30°，即∠CDE=∠E，
∴CD=CE= AC= ．
故答案為：30；
點評： 此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，利用等邊三角形的性質(zhì)可以解決角與邊的有關問題，尤其注意等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的運用，及“等角對等邊”、“等邊對等角”的運用．
16．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，點D是AB的中點，E、F在射線AC與射 線CB上運動，且滿足AE=CF；當點E運動到與點C的距離為1時，則△DEF的面積= 或 ?。?BR> 考點： 全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 動點型．
分析： 易證△ADE≌△CDF，△CDE≌△BCF，可得四邊形CEDF面積是△ABC面積的一半，再計算△CEF的面積即可解題．
解答： 解：①E在線段AC上，
∵在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF，（SAS），
∴同理△CDE≌△BDF，
∴四邊形CEDF面積是△ABC面積的一半，
∵CE=1，∴CF=4﹣1=3，
∴△CEF的面積= CE•CF= ，
∴△DEF的面積= ×2 ×2 ﹣ = ．
②E'在AC延長線上，
∵AE'=CF'，AC=BC=4，∠ACB=90°，
∴CE'=BF'，∠ACD=∠CBD=45°，CD=AD=BD=2 ，
∴∠DCE'=∠DBF'=135°，
∵在△CDE'和△BDF'中， ，
∴△CDE'≌△BDF'，（SAS）
∴DE'=DF'，∠CDE'=∠BDF'，
∵∠CDE'+∠BDE'=90°，
∴∠BDE'+∠BDF'=90°，即∠E'DF'=90°，
∵DE'2=CE'2+CD2﹣2CD•CE'cos135°=1+8+2×2 × =13，
∴S△E'DF'= DE'2= ．
故答案為 或 ．
點評： 本題考查了全等三角形的 判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ADE≌△CDF和△CDE≌△BCF是解題的關鍵．
三、解答題（共10小題，滿分102分）
17．作圖一：
如圖1，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，四邊形ABCD的四個頂點都在小正方形的頂點上，點E在BC邊上，且點E在小正方形的頂點上，連接AE．
（1）在圖中畫出△AEF，使△AEF與△AEB關于直線AE對稱，點F與點B是對稱點；
（2）請直接寫出△AEF與四邊形ABCD重疊部分的面積 8?。?BR> 作圖二：
如圖2，△ABC與△DEF關于直線l對稱，請僅用無刻度的直尺，在圖2中作出直線l．（保留作圖痕跡）
考點： 作圖-軸對稱變換．
分析： 作圖一：（1）利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出B點關于直線AE的對稱點F，△AEF即為所求；
（2）△AEF與四邊形ABCD重疊部分的面積為：S四邊形AECD=2×4=8；
作圖二：利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出，直線l即為所求．
解答： 解：作圖一：（1）如圖1所示：△AEF即為所求；
（2）△AEF與四邊形ABCD重疊部分的面積為：2×4=8；
故答案為：8；
作圖二：如圖2所示：直線l即為所求
點評： 此題主要考查了軸對稱變換，正確利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出是解題關鍵．
18．如圖，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，DB=9．求∠ACB的度數(shù)．
考點： 勾股定理；勾股定理的逆定理．
分析： 根據(jù)勾股定理求出CD、AD的長，再根據(jù)勾股定理逆定理求出AC2+BC2=AB2，判斷出△ABC是直角三角形即可求出∠ACB的度數(shù)．
解答： 解：在Rt△BCD中，CD= = =12，
在Rt△ACD中，AD= = =16，
∴AB=AD+DB=16+9=25，
∵AC2+BC2=400+225=625，AB2=252=625，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°．
點評： 本題考查了勾股定理和勾股定理逆定理，在不同三角形中找到相應的條件是解題的關鍵．
19．如圖，△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分線DE交AB、AC于E、D．
①若△BCD的周長為8，求BC的長；
②若BD平分∠ABC，求∠BDC的度數(shù)．
考點： 線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．
分析： ①根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)求出AD=BD，求出BD+DC+BC =BC+AC=8，即可得出答案；
②設∠A=a°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠A=∠ABD=a°，∠ABC=∠ACB=2a°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出方程5a=180，求出后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出即可．
解答： 解：①∵DE是線段AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
∵△BCD的周長為8，
∴BD+DC+BC=BC+AD+DC=BC+AC=8，
∵AB=AC=5，
∴BC=3；
②設∠A=a°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=a°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=a°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=2a°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴5a=180，
∴a=36，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°．
點評： 本題考查了三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線性質(zhì)，含30度角的直角三角形，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的應用，解此題的關鍵是推出AB=AE=EC，AE=2DE，綜合性比較強，難度適中．
20．已知，如圖所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，求證：DE=DF．
考點： 全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： 連接AD，利用SSS得到三角形ABD與三角形ACD全等，利用全等三角形對應角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD為角平分線，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分線定理即可得證．
解答： 證明：連接AD，
在△ACD和△ABD中，
，
∴△ACD≌△ABD（SSS），
∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，
∵DE⊥AE，DF⊥AF，
∴DE=DF．
點評： 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及角平分線定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．
21．如圖所示，A、B兩村在河岸CD的同側，A、B兩村到河岸的距離分別為AC=1km，BD=3km，又CD=3km，現(xiàn)要在河岸CD上建一水廠向A、B兩村輸送自來水，鋪設水管的工程費用為每千米20000元，請你在CD上選擇水廠的位置O，使鋪設水管的費用最省，并求出鋪設水管的總費用．
考點： 作圖—應用與設計作圖；軸對稱-最短路線問題．
專題： 作圖題．
分析： 作出點B關于CD的對稱點B′，連接AB′交CD于點O，連接BO，根據(jù)對稱性可知，在點O處建水廠，鋪設水管最短，所需費用最低．
解答： 解：如圖所示，點O就是建水廠的位置，
∵AC=1km，BD=3km，CD=3km，
∴AE=AC+CE=AC+DB′=AC+BD=1+3=4km，
B′E=CD=3km，
AB′= = =5km，
鋪設水管長度為：AO+OB=AO+OB′=AB′=5km，
∵鋪設水管的工程費用為每千米20 000元，
∴鋪設水管的總費用為：5×20 000=100 000元．
故答案為：100 000元．
點評： 本題考查了應用與設計作圖，主要利用軸對稱的性質(zhì)，找出點B關于CD的對稱點是確定建水廠位置O的關鍵．
22．如圖，在△ABC中，點E在AB上，點D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD與CE相交于點F，試判斷△AFC的形狀，并說明理由．
考點： 等腰三角形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 探究型．
分析： 要判斷△AFC的形狀，可通過判斷角的關系來得出結論，那么就要看∠FAC和∠FCA的關系．因為∠BAD=∠BCE，因此我們只比較∠BAC和∠BCA的關系即可．根據(jù)題中的條件：BD=BE，∠BAD=∠BCE，△BDA和△BEC又有一個公共角，因此兩三角形全等，那么AB=AC，于是∠BAC=∠BCA，由此便可推導出∠FAC=∠FCA，那么三角形AFC應該是個等腰三角形．
解答： 解：△AFC是等腰三角形．理由如下：
在△BAD與△BCE中，
∵∠B=∠B（公共角），∠BAD=∠BCE，BD=BE，
∴△BAD≌△BCE（AAS），
∴BA=BC，∠BAD=∠BCE，
∴∠BAC=∠BCA，
∴∠BAC﹣∠BAD=∠BCA﹣∠BCE，即∠FAC=∠FCA．
∴AF=CF，
∴△AFC是等腰三角形．
點評： 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的判定等知識點，利用全等三角形來得出角相等是本題解題的關鍵．
23．如圖，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分別是AC、BD的中點．求證：MN⊥BD．
考點： 直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： 連接BM、DM，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM=DM= AC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可．
解答： 證明：如圖，連接BM、DM，
∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中點，
∴BM=DM= AC，
∵點N是BD的中點，
∴MN⊥BD．
點評： 本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構造出等腰三角形是解題的關鍵．
24．如圖，∠ABC=90°，D、E分別在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，點F是AE的中點，F(xiàn)D與AB相交于點M．
（1）求證：∠FMC=∠FCM；
（2）AD與MC垂直嗎？并說明理由．
考點： 全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．
專題： 幾何綜合題．
分析： （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出DF⊥AE，DF=AF=EF，進而利用全等三角形的判定得出△DFC≌△AFM（AAS），即可得出答案；
（2）由（1）知，∠MFC=90°，F(xiàn)D=EF，F(xiàn)M=FC，即可得出∠FDE=∠FMC=45°，即可理由平行線的判定得出答案．
解答： （1）證明：∵△ADE是等腰直角三角形，F(xiàn)是AE中點，
∴DF⊥AE，DF=AF=EF，
又∵∠ABC=90°，
∠DCF，∠AMF都與∠MAC互余，
∴∠DCF=∠AMF，
在△DFC和△AFM中，
，
∴△DFC≌△AFM（AAS），
∴CF=MF，
∴∠FMC=∠FCM；
（2）AD⊥MC，
理由：由（1）知，∠MFC=90°，F(xiàn)D=FA=FE，F(xiàn)M=FC，
∴∠FDE=∠FMC=45°，
∴DE∥CM，
∴AD⊥MC．
點評： 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，得出∠DCF=∠AMF是解題關鍵．
25．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=100cm，BC=80cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度運動，同時，另一點Q由點B開始沿BC邊向點C以1.5cm/s的速度運動．
（1）20s后，點P與點Q之間相距 50 cm．
（2）在（1）的條件下，若P、Q兩點同時相向而行， 20 秒后兩點相遇．
（3）多少秒后，AP=CQ？
考點： 勾股定理；一元一次方程的應用．
專題： 動點型．
分析： （1）在直 角△BPQ中，根據(jù) 勾股定理來求PQ的長度；
（2）由（1）中的PQ= 50得到：50=（1+1.5）t；
（3）由路程=時間×速度列出等式．
解答： 解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=100cm，BC=80cm，
∴AB= =60cm．
（1）在直角△BPQ中，由勾股定理得到：PQ= = =50（cm），即PQ=50cm；
（2）由（1）知，PQ=50cm，則P、Q兩點同時相向而行時，兩點相遇的時間為： =20（秒）；
（3）設t秒后，AP=CQ．則
t=80﹣1.5t，
解得 t=32．
答：32秒后，AP=CQ．
故答案是：（1）50 （2）20 （3）32．
點評： 本題考查了勾股定理和一元一次方程的定義．解題時，需要熟悉路程=時間×速度，以及變形后的公式．
26．如圖，已知點A是線段OB的垂直平分線上一點，AN⊥ON，BO⊥ON，P為ON上一點，∠OPB=∠OAB．
（1）若∠AOB=60°，PB=4，則OP= 2?。?BR> （2）在（1）的條件下，求證：PA+PO=PB；
（3）如圖②，若ON=5，求出PO+PB的值．
考點： 全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 綜合題．
分析： （1）易證△AOB是等邊三角形，從而可得∠OPB=∠OAB=60°，即可得到∠OBP=30°，然后根據(jù)30°角所得的直角邊等于斜邊的一半即可求出OP的值；
（2）如圖①，由（1）可得OB=AB，∠ABP=∠OBP=30°，從而可證到△OBP≌△ABP，則有OP=AP=2，即可證到PA+PO=4=PB；
（3）延長ON、BA交于點D，如圖②．由AO=AB，∠DOB=90°可證到∠D=∠AOD，從而可得AD=AO，由AN⊥OD可得DN=ON=5，由∠OPB=∠OAB可得∠AOD=∠PBD，從而得到∠D=∠PBD，則有PD=PB，即可得到PO+PB=PO+PD=OD=10．
解答： 解：（1）∵點A是線段OB的垂直平分線上一點，
∴AO=AB．
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴OB=AB，∠OAB=∠ABO=60°．
∴∠OPB=∠OAB=60°．
∵BO⊥ON，即∠POB=90°，
∴∠OBP=30°，
∴OP= PB= ×4=2．
故答案為2；
（2）證明：如圖①，
由（1）得OB=AB，∠OAB=∠ABO=60°，∠OBP=30°，
∴∠ABP=∠ABO﹣∠OBP=30°=∠OBP．
在△OBP和△ABP中，
，
∴△OBP≌△ABP（SAS），
∴OP=AP=2，
∴PA+PO=4=PB；
（3）延長ON、BA交于點D，如圖②．
∵AO=AB，∴∠AOB=∠ABO．
∵∠DOB=90°，
∴∠D+∠OBD=90°，∠AOD+∠BOA=90°，
∴∠D= ∠AOD，
∴AD=AO．
∵AN⊥OD，
∴DN=ON=5．
∵∠OPB=∠OAB，
∴∠AOD=∠PBD，
∴∠D=∠PBD，
∴PD=PB，
∴PO+PB=PO+PD=OD=10．
點評： 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、30°角所得的直角邊等于斜邊的一半、等角的余角相等等知識，證到△OBP≌△ABP是解決第（2）小題的關鍵，通過添加適當?shù)妮o助線將PO+PB轉(zhuǎn)化為線段OD是解決第（3）小題的關鍵．
1．如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A． CB=CD B． ∠BAC=∠DAC C． ∠BCA=∠DCA D． ∠B=∠D=90°
2．下列說法中，錯誤的是（ ）
A． 任意兩條相交直線都組成一個軸對稱圖形
B． 等腰三角形最少有1條對稱軸，最多有3條對稱軸
C． 成軸對稱的兩個三角形一定全等
D． 全等的兩個三角形一定成軸對稱
3．下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（ ?。?BR> A． 12、15、18 B． 0.3、0.4、0.5 C． 1.5、3、2.5 D． 12、16、20
4．一個三角形的三個外角之比為3：3：2，則這個三角形是（ ）
A． 等腰三角形 B． 等腰直角三角形
C． 直角三角形 D． 等邊三角形
5．和三角形三條邊距離相等的點是（ ）
A． 三條角平分線的交點 B． 三邊中線的交點
C． 三邊上高所在直線的交點 D． 三邊的垂直平分線的交點
6．如圖，三角形ABC中，∠A的平分線交BC于點D，過點D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，下面四個結論：
①∠AFE=∠AEF；
②AD垂直平分EF；
③ ；
④EF一定平行BC．
其中正確的是（ ?。?BR> A． ①②③ B． ②③④ C． ①③④ D． ①②③④
二、填空題（共10小題，每小題3分，滿分30分）
7．在等腰三角形ABC中，∠A=120°，則∠C= ?。?BR> 8．等腰三角形的兩邊長為4，9．則它的周長為 ．
9．已知△ABC的三邊長分別為9、12、15，則最長邊上的中線長為 ?。?BR> 10．如圖，一張長方形紙片寬AB=8cm，長BC=10cm，現(xiàn)將紙片折疊，使頂點D落在BC邊上的點F處（折痕為AE），則EC= ?。?BR> 11．已知如圖，∠B=∠C=90°，E是BC的中點，DE平分∠ADC，∠CED=35°，則∠EAB是 度．
12．小明想知道學校旗桿有多高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還余1m，當他把繩子下端拉開5m后，發(fā) 現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿高度為 米．
13．如圖，我國古代數(shù)學家得出的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構成的大正方形，若小正方形與大正方形的面積分別是為1、13，則直角三角形兩直角邊和a+b= ?。?BR> 14．如圖，已知AB∥CF，E為DF的中點，若AB=9cm，CF=5cm，則BD= cm．
15．如圖，D是等邊△ABC的AC邊上的中點，點E在BC的延長線上，DE=DB，△ABC的周長是9，則∠E= °，CE= ．
16．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，點D是AB的中點，E、F在射線AC與射線CB上運動，且滿足AE=CF；當點E運動到與 點C的距離為1時，則△DEF的面積= ?。?BR> 三、解答題（共10小題，滿分102分）
17．作圖一：
如圖1，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，四邊形ABCD的四個頂點都在小正方形的頂點上，點E在BC邊上，且點E在小正方形的頂點上，連接AE．
（1）在圖中畫出△AEF，使△AEF與△AEB關于直線AE對稱，點F與點B是對稱點；
（2）請直接寫出△AEF與四邊形ABCD重疊部分的面積 ?。?BR> 作圖二：
如圖2，△ABC與△DEF關于直線l對稱，請僅用無刻度的直尺，在圖2中作出直線l．（保留作圖痕跡）
18．如圖，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，DB=9．求∠ACB的度數(shù)．
19．如圖，△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分線DE交AB、AC于E、D．
①若△BCD的周長為8，求BC的長；
②若BD平分∠ABC，求∠BDC的度數(shù)．
20．已知，如圖所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，求證：DE=DF．
21．如圖所示，A、B兩村在河岸CD的同側，A、B兩村到河岸的距離分別為AC=1km，BD=3km，又CD=3km，現(xiàn)要在河岸CD上建一水廠向A、B兩村輸送自來水，鋪設水管的工程費用為每千米20000元，請你在CD上選擇水廠的位置O，使鋪設水管的費用最省，并求出鋪設水管的總費用．
22．如圖，在△ABC中，點E在AB上，點D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD與CE相交于點F，試判斷△AFC的形狀，并說明理由．
23．如圖，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分別是AC、BD的中點．求證：MN⊥BD．
24．如圖，∠ABC=90°，D、E分別在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，點F是AE的中點，F(xiàn)D與AB相交于點M．
（1）求證：∠FMC=∠FCM；
（2）AD與MC垂直嗎？并說明理由．
25．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=100cm，BC=80cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度運動，同時，另一點Q由點B開始沿BC邊向點C以1.5cm/s的速度運動．
（1）20s后，點P與點Q之間相距 cm．
（2）在（1）的條件下，若P、Q兩點同時相向而行， 秒后兩點相遇．
（3）多少秒后，AP=CQ？
26．如圖，已知點A是線段OB的垂直平分線上一點，AN⊥ON，BO⊥ON，P為ON上一點，∠OPB=∠OAB．
（1）若∠AOB=60°，PB=4，則OP= ??；
（2）在（1）的條件下，求證：PA+PO=PB；
（3）如圖②，若ON=5，求出PO+PB的值．
2014-2015學年江蘇省泰州市高港實驗中學八年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共6小題，每小題3分，滿分18分）
1．如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是（ ?。?BR> A． CB=CD B． ∠BAC=∠DAC C． ∠BCA=∠DCA D． ∠B=∠D=90°
考點： 全等三角形的判定．
分析： 本題要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共邊，具備了兩組邊對應相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分別根據(jù)SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后則不能．
解答： 解：A、添加CB=CD，根據(jù)SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A選項不符合題意；
B、添加∠BAC=∠DAC，根據(jù)SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B選項不符合題意；
C、添加∠BCA=∠DCA時，不能判定△ABC≌△ADC，故C選項符合題意；
D、添加∠B=∠D=90°，根據(jù)HL，能判定△ABC≌△ADC，故D選項不符合題意；
故選：C．
點評： 本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
2．下列說法中，錯誤的是（ ）
A． 任意兩條相交直線都組成一個軸對稱圖形
B． 等腰三角形最少有1條對稱軸，最多有3條對稱軸
C． 成軸對稱的兩個三角形一定全等
D． 全等的兩個三角形一定成軸對稱
考點： 軸對稱圖形．
分析： 根據(jù)軸對稱圖形，軸對稱的定義和性質(zhì)分析找出錯誤選項．
解答： 解：A、正確，任意兩條相交直線的夾角平分線是其對稱軸，都能組成一個軸對稱圖形．
B、正確，等腰三角形有1條對稱軸，等腰三角形三條邊都相等時有3條對稱軸；
C、正確，根據(jù)成軸對稱的性質(zhì)可知；
D、錯誤，全等的兩個三角形不一定成軸對稱．
故選D．
點評： 本題考查了軸對稱圖形，軸對稱以及對稱軸的定義和應用．關于某條直線對稱的一個圖形叫軸對稱圖形．直線兩旁的部分能夠互相重合的兩個圖形叫做這兩個圖形成軸對稱．
3．下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（ ）
A． 12、15、18 B． 0.3、0.4、0.5 C． 1.5、3、2.5 D． 12、16、20
考點： 勾股數(shù)．
分析： 根據(jù)凡是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)是勾股數(shù)，分別對每個選項進行驗證即可解題．
解答： 解：A、∵122+152≠182，∴A錯誤，
B、∵0.32+0.42=0.52，但0.3、0.4、0.5不是正整數(shù)，∴B錯誤；
C、∵1.52+2.52≠32，∴C錯誤；
D、∵122+162=202，∴D正確；
故選 D．
點評： 本題考查了勾股數(shù)的判定，根據(jù)勾股數(shù)是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)解題是解題的關鍵．
4．一個三角形的三個外角之比為3：3：2，則這個三角形是（ ?。?BR> A． 等腰三角形 B． 等腰直角三角形
C． 直角三角形 D． 等邊三角形
考點： 三角形的外角性質(zhì)．
分析： 根據(jù)三角形的外角和等于360°求出三個外角，再求出三個內(nèi)角，即可得出答案．
解答： 解：∵三角形的三個外角之比為3：3：2，
∴三角形的三個外角的度數(shù)為：135°，135°，90°，
∴三角形對應的內(nèi)角度數(shù)為45°， 45°，90°，
∴此三角形是等腰直角三角形，
故選B．
點評： 本題考查了三角形的外角和三角形的內(nèi)角和定理的應用，解此題的關鍵是求出各個內(nèi)角的度數(shù)．
5．和三角形三條邊距離相等的點是（ ）
A． 三條角平分線的交點 B． 三邊中線的交點
C． 三邊上高所在直線的交點 D． 三邊的垂直平分線的交點
考點： 角平分線的性質(zhì)．
分析： 題目要求到三邊距離相等，可兩兩分別思考，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等可得答案．
解答： 解：中線交點即三角形的重心，三角形重心到一個頂點的距離等于它到對邊中點距離的2倍，B錯誤；
高的交點是三角形的垂心，到三邊的距離不相等，C錯誤；
線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等，D錯誤；
∵角平分線上的點到角兩邊的距離相等，
∴要到三角形三條邊距離相等的點，只能是三條角平分線的交點，A正確．
故選A．
點評： 本題考查了角平分線的性質(zhì)；熟練掌握三角形中角平分線，重心，垂心，垂直平分線的性質(zhì)，是解答本題的關鍵．
6．如圖，三角形ABC中，∠A的平分線交BC于點D，過點D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，下面四個結論：
①∠AFE=∠AEF；
②AD垂直平分EF；
③ ；
④EF一定平行BC．
其中正確的是（ ?。?BR> A． ①②③ B． ②③④ C． ①③④ D． ①②③④
考點： 角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．
分析： 由三角形ABC中，∠A的平分線交BC于點D，過點D作DE⊥AC，DF⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得DE=DF，∠ADE=∠ADF，又由角平分線的性質(zhì)，可得AF=AE，繼而證得①∠AFE=∠AEF；又由線段垂直平分線的判定，可得②AD垂直平分EF；然后利用三角形的面積公式求解即可得③ ．
解答： 解：①∵三角形ABC中，∠A的平分線交BC于點D，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠ADE=∠ADF，DF=DE，
∴AF=AE，
∴∠AFE=∠AEF，故正確；
②∵DF=DE，AF=AE，
∴點D在EF的垂直平分線上，點A在EF的垂直平分線上，
∴AD垂直平分EF，故正確；
③∵S△BFD= BF•DF，S△CDE= CE•DE，DF=DE，
∴ ；故正確；
④∵∠EFD不一定等于∠BDF，
∴EF不一定平行BC．故錯誤．
故選A．
點評： 此題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．
二、填空題（共10小題，每小題3分，滿分30分）
7．在等腰三角形ABC中，∠A=120°，則∠C= 30° ．
考點： 等腰三角形的性質(zhì)．
分析： 首先根據(jù)∠A的度數(shù)判斷∠A是頂角，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理不能求得底角∠C的度數(shù)．
解答： 解：∵等腰△ABC中，∠A=120°，
∴∠A為頂角，
∴∠C= （180°﹣∠A）= （180°﹣120°）=30°．
故答案為：30°．
點評： 本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；利用三角形的內(nèi)角和求角度是一種很重要的方法，要熟練掌握．
8．等腰三角形的兩邊長為4，9．則它的周長為 22?。?BR> 考點： 等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關系．
分析： 由于題目沒有說明4和9，哪個是底哪個是腰，所以要分類討論．
解答： 解：當腰長為4，底長為9時；4+4＜9，不能構成三角形；
當腰長為9，底長為4時；9﹣4＜9＜9+4，能構成三角形；
故等腰三角形的周長為：9+9+4=22．
故填22．
點評： 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關系；對于底和腰不等的等腰三角形，若條 件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時，應在符合三角形三邊關系的前提下分類討論．
9．已知△ABC的三邊長分別為9、12、15，則最長邊上的中線長為 7.5 ．
考點： 直角三角形斜邊上的中線；勾股定理的逆定理．
分析： 利用勾股定理逆定理判斷出△ABC是直角三角形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答．
解答： 解：∵92+122=225=152，
∴△ABC是直角三角形，
∴最長邊上的中線長= ×15=7.5．
故答案為：7.5．
點評： 本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理逆定理，熟記性質(zhì)并判斷出三角形是直角三角形是解題的關鍵．
10．如圖，一張長方形紙片寬AB=8cm，長BC=10cm，現(xiàn)將紙片折疊，使頂點D落在BC邊上的點F處（折痕為AE），則EC= 3?。?BR> 考點： 翻折變換（折疊問題）．
分析： 首先根據(jù)勾股定理求出BF的長，進而求出FC的長；再次根據(jù)勾股定理，列出關于線段EF的方程，求出EF的長度，即可解決問題．
解答： 解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠B=90°，AD=BC=10；DC=AB=8；
由題意得：AF=AD=10，EF=ED=λ，
則EC=8﹣λ；
由勾股定理得：
BF2=102﹣82=36，
∴BF=6，CF=10﹣6=4；
由勾股定理得：
λ2=42+（8﹣λ）2，
解得：λ=5，EC=8﹣5=3，
故答案為：3．
點評： 該題主要考查了翻折變換及其性質(zhì)的應用問題；解題的關鍵是靈活運用有關定理來分析、判斷、推理或解答．
11．（3分）（2014秋• 泰州校級期中）已知如圖，∠B=∠C=90°，E是BC的中點，DE平分∠ADC，∠CED=35°，則∠EAB是 35 度．
考點： 角平分線的性質(zhì)．
分析： 過點E作EF⊥AD，證明△ABE≌△AFE，再求得∠CDE=90°﹣35°=55°，進而得到∠CDA和∠DAB的度數(shù)，即可求得∠EAB的度數(shù)．
解答： 解：過點E作EF⊥AD，
∵DE平分∠ADC，且E是BC的中點，
∴CE=EB=EF，
又∵∠B=90°，且AE=AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴∠EAB=∠EAF．
又∵∠CED=35°，∠C=90°，
∴∠CDE=90°﹣35°=55°，
∴∠CDA=110°，
∵∠B=∠C=90°，
∴DC∥AB，
∴∠CDA+∠DAB=180°，
∴∠DAB=70°，
∴∠EAB=35°．
故答案為：35．
點評： 本題考查了角平分線的性質(zhì)，解答此題的關鍵是根據(jù)題意作出輔助線EF⊥AD，構造出全等三角形，再由全等三角形的性質(zhì)解答．
12．小明想知道學校旗桿有多高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還余1m，當他把繩子下端拉開5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿高度為 12 米．
考點： 勾股定理的應用．
專題： 應用題．
分析： 由題可知，旗桿，繩子與地面構成直角三角形，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，用勾股定理即可解答．
解答： 解：設旗桿高xm，則繩子長為（x+1）m，∵旗桿垂直于地面，
∴旗桿，繩子與地面構成直角三角形，由題意列式為x2+52=（x+1）2，解得x=12m．
點評： 此題很簡單，只要熟知勾股定理即可解答．
13．如圖，我國古代數(shù)學家得出的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構成的大正方形，若小正方形與大正方形的面積分別是為1、13，則直角三角形兩直角邊和a+b= 5?。?BR> 考點： 勾股定理的證明．
分析： 根據(jù)大正方形的面積即可求得c2，利用勾股定理可以得到 a2+b2=c2，然后求得直角三角形的面積即可求得ab的值，根據(jù)（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab即可求解．
解答： 解：∵大正方形的面積是13，
∴c2=13，
∴a2+b2=c2=13，
∵直角三角形的面積是 =3，
又∵直角三角形的面積是 ab=3，
∴ab=6，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25．
∴a+b=5（舍去負值）．
故答案是：5．
點評： 本題考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展開：（a+b）2=a2+b2+2ab，還要注意圖形的面積和a，b之間的關系．
14．如圖，已知AB∥CF，E為DF的中點，若AB=9cm，CF=5cm，則BD= 4 cm．
考點： 全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．
專題： 計算題．
分析： 先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠ADE=∠EFC，再由ASA可求出△ADE≌△CFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求出AD的長，再由AB=9cm即可求出BD的長．
解答： 解：∵AB∥CF，
∴∠ADE=∠EFC，
∵∠AED=∠FEC，E為DF的中點，
∴△ADE≌△CFE，
∴AD=CF=5cm，
∵AB=9cm，
∴BD=9﹣5=4cm．
故填4．
點評： 本題考查的是平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定定理及性質(zhì)，比較簡單．
15．如圖，D是等邊△ABC的AC邊上的中點，點E在BC的延長線上，DE=DB，△ABC的周長是9，則∠E= 30 °，CE= ?。?BR> 考點： 等邊三角形的性質(zhì)．
專題： 綜合題．
分析： 由△ABC為等邊三角形，且BD為邊AC的中線，根據(jù)“三線合一”得到BD平分∠ABC，而∠ABC為60°，得到∠DBE為30°，又因為DE=DB，根據(jù)等邊對等角得到∠E與∠DBE相等，故∠E也為30°；
由等邊三角形的三邊相等且周長為9，求出AC的長為3，且∠ACB為60°，根據(jù)∠ACB為△DCE的外角，根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和，求出∠CDE也為30°，根據(jù)等角對等邊得到CD=CE，都等于邊長AC的一半，從而求出CE的值．
解答： 解：∵△ABC為等邊三角形，D為AC邊上的中點，
∴BD為∠ABC的平分線，且∠ABC=60°，
即∠DBE=30°，又DE=DB，
∴∠E=∠DBE=30°，
∵等邊△ABC的周長為9，∴AC=3，且∠ACB=60°，
∴∠CDE=∠ACB﹣∠E=30°，即∠CDE=∠E，
∴CD=CE= AC= ．
故答案為：30；
點評： 此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，利用等邊三角形的性質(zhì)可以解決角與邊的有關問題，尤其注意等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的運用，及“等角對等邊”、“等邊對等角”的運用．
16．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，點D是AB的中點，E、F在射線AC與射 線CB上運動，且滿足AE=CF；當點E運動到與點C的距離為1時，則△DEF的面積= 或 ?。?BR> 考點： 全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 動點型．
分析： 易證△ADE≌△CDF，△CDE≌△BCF，可得四邊形CEDF面積是△ABC面積的一半，再計算△CEF的面積即可解題．
解答： 解：①E在線段AC上，
∵在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF，（SAS），
∴同理△CDE≌△BDF，
∴四邊形CEDF面積是△ABC面積的一半，
∵CE=1，∴CF=4﹣1=3，
∴△CEF的面積= CE•CF= ，
∴△DEF的面積= ×2 ×2 ﹣ = ．
②E'在AC延長線上，
∵AE'=CF'，AC=BC=4，∠ACB=90°，
∴CE'=BF'，∠ACD=∠CBD=45°，CD=AD=BD=2 ，
∴∠DCE'=∠DBF'=135°，
∵在△CDE'和△BDF'中， ，
∴△CDE'≌△BDF'，（SAS）
∴DE'=DF'，∠CDE'=∠BDF'，
∵∠CDE'+∠BDE'=90°，
∴∠BDE'+∠BDF'=90°，即∠E'DF'=90°，
∵DE'2=CE'2+CD2﹣2CD•CE'cos135°=1+8+2×2 × =13，
∴S△E'DF'= DE'2= ．
故答案為 或 ．
點評： 本題考查了全等三角形的 判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ADE≌△CDF和△CDE≌△BCF是解題的關鍵．
三、解答題（共10小題，滿分102分）
17．作圖一：
如圖1，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，四邊形ABCD的四個頂點都在小正方形的頂點上，點E在BC邊上，且點E在小正方形的頂點上，連接AE．
（1）在圖中畫出△AEF，使△AEF與△AEB關于直線AE對稱，點F與點B是對稱點；
（2）請直接寫出△AEF與四邊形ABCD重疊部分的面積 8?。?BR> 作圖二：
如圖2，△ABC與△DEF關于直線l對稱，請僅用無刻度的直尺，在圖2中作出直線l．（保留作圖痕跡）
考點： 作圖-軸對稱變換．
分析： 作圖一：（1）利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出B點關于直線AE的對稱點F，△AEF即為所求；
（2）△AEF與四邊形ABCD重疊部分的面積為：S四邊形AECD=2×4=8；
作圖二：利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出，直線l即為所求．
解答： 解：作圖一：（1）如圖1所示：△AEF即為所求；
（2）△AEF與四邊形ABCD重疊部分的面積為：2×4=8；
故答案為：8；
作圖二：如圖2所示：直線l即為所求
點評： 此題主要考查了軸對稱變換，正確利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出是解題關鍵．
18．如圖，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，DB=9．求∠ACB的度數(shù)．
考點： 勾股定理；勾股定理的逆定理．
分析： 根據(jù)勾股定理求出CD、AD的長，再根據(jù)勾股定理逆定理求出AC2+BC2=AB2，判斷出△ABC是直角三角形即可求出∠ACB的度數(shù)．
解答： 解：在Rt△BCD中，CD= = =12，
在Rt△ACD中，AD= = =16，
∴AB=AD+DB=16+9=25，
∵AC2+BC2=400+225=625，AB2=252=625，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°．
點評： 本題考查了勾股定理和勾股定理逆定理，在不同三角形中找到相應的條件是解題的關鍵．
19．如圖，△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分線DE交AB、AC于E、D．
①若△BCD的周長為8，求BC的長；
②若BD平分∠ABC，求∠BDC的度數(shù)．
考點： 線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．
分析： ①根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)求出AD=BD，求出BD+DC+BC =BC+AC=8，即可得出答案；
②設∠A=a°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠A=∠ABD=a°，∠ABC=∠ACB=2a°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出方程5a=180，求出后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出即可．
解答： 解：①∵DE是線段AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
∵△BCD的周長為8，
∴BD+DC+BC=BC+AD+DC=BC+AC=8，
∵AB=AC=5，
∴BC=3；
②設∠A=a°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=a°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=a°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=2a°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴5a=180，
∴a=36，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°．
點評： 本題考查了三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線性質(zhì)，含30度角的直角三角形，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的應用，解此題的關鍵是推出AB=AE=EC，AE=2DE，綜合性比較強，難度適中．
20．已知，如圖所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，求證：DE=DF．
考點： 全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： 連接AD，利用SSS得到三角形ABD與三角形ACD全等，利用全等三角形對應角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD為角平分線，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分線定理即可得證．
解答： 證明：連接AD，
在△ACD和△ABD中，
，
∴△ACD≌△ABD（SSS），
∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，
∵DE⊥AE，DF⊥AF，
∴DE=DF．
點評： 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及角平分線定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．
21．如圖所示，A、B兩村在河岸CD的同側，A、B兩村到河岸的距離分別為AC=1km，BD=3km，又CD=3km，現(xiàn)要在河岸CD上建一水廠向A、B兩村輸送自來水，鋪設水管的工程費用為每千米20000元，請你在CD上選擇水廠的位置O，使鋪設水管的費用最省，并求出鋪設水管的總費用．
考點： 作圖—應用與設計作圖；軸對稱-最短路線問題．
專題： 作圖題．
分析： 作出點B關于CD的對稱點B′，連接AB′交CD于點O，連接BO，根據(jù)對稱性可知，在點O處建水廠，鋪設水管最短，所需費用最低．
解答： 解：如圖所示，點O就是建水廠的位置，
∵AC=1km，BD=3km，CD=3km，
∴AE=AC+CE=AC+DB′=AC+BD=1+3=4km，
B′E=CD=3km，
AB′= = =5km，
鋪設水管長度為：AO+OB=AO+OB′=AB′=5km，
∵鋪設水管的工程費用為每千米20 000元，
∴鋪設水管的總費用為：5×20 000=100 000元．
故答案為：100 000元．
點評： 本題考查了應用與設計作圖，主要利用軸對稱的性質(zhì)，找出點B關于CD的對稱點是確定建水廠位置O的關鍵．
22．如圖，在△ABC中，點E在AB上，點D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD與CE相交于點F，試判斷△AFC的形狀，并說明理由．
考點： 等腰三角形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 探究型．
分析： 要判斷△AFC的形狀，可通過判斷角的關系來得出結論，那么就要看∠FAC和∠FCA的關系．因為∠BAD=∠BCE，因此我們只比較∠BAC和∠BCA的關系即可．根據(jù)題中的條件：BD=BE，∠BAD=∠BCE，△BDA和△BEC又有一個公共角，因此兩三角形全等，那么AB=AC，于是∠BAC=∠BCA，由此便可推導出∠FAC=∠FCA，那么三角形AFC應該是個等腰三角形．
解答： 解：△AFC是等腰三角形．理由如下：
在△BAD與△BCE中，
∵∠B=∠B（公共角），∠BAD=∠BCE，BD=BE，
∴△BAD≌△BCE（AAS），
∴BA=BC，∠BAD=∠BCE，
∴∠BAC=∠BCA，
∴∠BAC﹣∠BAD=∠BCA﹣∠BCE，即∠FAC=∠FCA．
∴AF=CF，
∴△AFC是等腰三角形．
點評： 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的判定等知識點，利用全等三角形來得出角相等是本題解題的關鍵．
23．如圖，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分別是AC、BD的中點．求證：MN⊥BD．
考點： 直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： 連接BM、DM，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM=DM= AC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可．
解答： 證明：如圖，連接BM、DM，
∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中點，
∴BM=DM= AC，
∵點N是BD的中點，
∴MN⊥BD．
點評： 本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構造出等腰三角形是解題的關鍵．
24．如圖，∠ABC=90°，D、E分別在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，點F是AE的中點，F(xiàn)D與AB相交于點M．
（1）求證：∠FMC=∠FCM；
（2）AD與MC垂直嗎？并說明理由．
考點： 全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．
專題： 幾何綜合題．
分析： （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出DF⊥AE，DF=AF=EF，進而利用全等三角形的判定得出△DFC≌△AFM（AAS），即可得出答案；
（2）由（1）知，∠MFC=90°，F(xiàn)D=EF，F(xiàn)M=FC，即可得出∠FDE=∠FMC=45°，即可理由平行線的判定得出答案．
解答： （1）證明：∵△ADE是等腰直角三角形，F(xiàn)是AE中點，
∴DF⊥AE，DF=AF=EF，
又∵∠ABC=90°，
∠DCF，∠AMF都與∠MAC互余，
∴∠DCF=∠AMF，
在△DFC和△AFM中，
，
∴△DFC≌△AFM（AAS），
∴CF=MF，
∴∠FMC=∠FCM；
（2）AD⊥MC，
理由：由（1）知，∠MFC=90°，F(xiàn)D=FA=FE，F(xiàn)M=FC，
∴∠FDE=∠FMC=45°，
∴DE∥CM，
∴AD⊥MC．
點評： 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，得出∠DCF=∠AMF是解題關鍵．
25．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=100cm，BC=80cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度運動，同時，另一點Q由點B開始沿BC邊向點C以1.5cm/s的速度運動．
（1）20s后，點P與點Q之間相距 50 cm．
（2）在（1）的條件下，若P、Q兩點同時相向而行， 20 秒后兩點相遇．
（3）多少秒后，AP=CQ？
考點： 勾股定理；一元一次方程的應用．
專題： 動點型．
分析： （1）在直 角△BPQ中，根據(jù) 勾股定理來求PQ的長度；
（2）由（1）中的PQ= 50得到：50=（1+1.5）t；
（3）由路程=時間×速度列出等式．
解答： 解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=100cm，BC=80cm，
∴AB= =60cm．
（1）在直角△BPQ中，由勾股定理得到：PQ= = =50（cm），即PQ=50cm；
（2）由（1）知，PQ=50cm，則P、Q兩點同時相向而行時，兩點相遇的時間為： =20（秒）；
（3）設t秒后，AP=CQ．則
t=80﹣1.5t，
解得 t=32．
答：32秒后，AP=CQ．
故答案是：（1）50 （2）20 （3）32．
點評： 本題考查了勾股定理和一元一次方程的定義．解題時，需要熟悉路程=時間×速度，以及變形后的公式．
26．如圖，已知點A是線段OB的垂直平分線上一點，AN⊥ON，BO⊥ON，P為ON上一點，∠OPB=∠OAB．
（1）若∠AOB=60°，PB=4，則OP= 2?。?BR> （2）在（1）的條件下，求證：PA+PO=PB；
（3）如圖②，若ON=5，求出PO+PB的值．
考點： 全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 綜合題．
分析： （1）易證△AOB是等邊三角形，從而可得∠OPB=∠OAB=60°，即可得到∠OBP=30°，然后根據(jù)30°角所得的直角邊等于斜邊的一半即可求出OP的值；
（2）如圖①，由（1）可得OB=AB，∠ABP=∠OBP=30°，從而可證到△OBP≌△ABP，則有OP=AP=2，即可證到PA+PO=4=PB；
（3）延長ON、BA交于點D，如圖②．由AO=AB，∠DOB=90°可證到∠D=∠AOD，從而可得AD=AO，由AN⊥OD可得DN=ON=5，由∠OPB=∠OAB可得∠AOD=∠PBD，從而得到∠D=∠PBD，則有PD=PB，即可得到PO+PB=PO+PD=OD=10．
解答： 解：（1）∵點A是線段OB的垂直平分線上一點，
∴AO=AB．
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴OB=AB，∠OAB=∠ABO=60°．
∴∠OPB=∠OAB=60°．
∵BO⊥ON，即∠POB=90°，
∴∠OBP=30°，
∴OP= PB= ×4=2．
故答案為2；
（2）證明：如圖①，
由（1）得OB=AB，∠OAB=∠ABO=60°，∠OBP=30°，
∴∠ABP=∠ABO﹣∠OBP=30°=∠OBP．
在△OBP和△ABP中，
，
∴△OBP≌△ABP（SAS），
∴OP=AP=2，
∴PA+PO=4=PB；
（3）延長ON、BA交于點D，如圖②．
∵AO=AB，∴∠AOB=∠ABO．
∵∠DOB=90°，
∴∠D+∠OBD=90°，∠AOD+∠BOA=90°，
∴∠D= ∠AOD，
∴AD=AO．
∵AN⊥OD，
∴DN=ON=5．
∵∠OPB=∠OAB，
∴∠AOD=∠PBD，
∴∠D=∠PBD，
∴PD=PB，
∴PO+PB=PO+PD=OD=10．
點評： 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、30°角所得的直角邊等于斜邊的一半、等角的余角相等等知識，證到△OBP≌△ABP是解決第（2）小題的關鍵，通過添加適當?shù)妮o助線將PO+PB轉(zhuǎn)化為線段OD是解決第（3）小題的關鍵．