第七章 圓
課時24．圓
【考點鏈接】
一、圓的有關概念
1. 圓上各點到圓心的距離都等于 .
2. 圓是 對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的 ；圓又
是 對稱圖形， 是它的對稱中心.
3. 垂直于弦的直徑平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直徑）的 垂直于弦，并且平分 .
4. 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，兩個圓周角中有一組量 ，那么它們所對應的其余各組量都分別 .
5. 同弧或等弧所對的圓周角 ，都等于它所對的圓心角的 .
6. 直徑所對的圓周角是 ，90°所對的弦是 .
二、與圓有關的位置關系
1. 點與圓的位置關系共有三種：① ，② ，③ ；對應的點到圓心的距離d和半徑r之間的數量關系分別為：
①d r，②d r，③d r.
2. 直線與圓的位置關系共有三種：① ，② ，③ .
對應的圓心到直線的距離d和圓的半徑r之間的數量關系分別為：
①d r，②d r，③d r.
3. 圓與圓的位置關系共有五種：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ；兩圓的圓心距d和兩圓的半徑R、r（R≥r）之間的數量關系分別為：①d R－r，②d R－r，③ R－r d R＋r，④d R＋r，⑤d R＋r.
4. 圓的切線 過切點的半徑；經過 的一端，并且 這條 的直線是圓的切線.
5. 從圓外一點可以向圓引 條切線， 相等， 相等.
6. 三角形的三個頂點確定 個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，三角形的外接圓的圓心叫 心，是三角形 的交點，它到 相等。
7. 與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的 ，內切圓的圓心是三角形 的交點，叫做三角形的 ，它到 相等.
三、與圓有關的計算
1. 圓的周長為 ，1°的圓心角所對的弧長為 ，n°的圓心角所對
的弧長為 ，弧長公式為 .
2. 圓的面積為 ，1°的圓心角所在的扇形面積為 ，n°的圓心角所在的扇形面積為S= = = .
3. 圓柱的側面積公式：S= .（其中 為 的半徑， 為 的高）。
4. 圓柱的全面積公式：S= + 。
5. 圓錐的側面積公式：S= .（其中 為 的半徑， 為 的長）。
6. 圓錐的全面積公式：S= + 。
【河北三年中考試題】
1.（2008年，2分）如圖3，已知⊙O的半徑為5，點 到弦
的距離為3，則⊙O上到弦 所在直線的距離為2的點有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2.（2008年，3分）如圖7， 與⊙O相切于點 ，
的延長線交⊙O于點 ，連結 ．若 ，
則 ．
3.（2009年，2分）如圖2，四個邊長為1的小正方形拼成一個大
正方形，A、B、O是小正方形頂點，⊙O的半徑為1，P是⊙O上
的點，且位于右上方的小正方形內，則∠APB等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4.（2009年，8分）圖10是一個半圓形橋洞截面示意圖，圓心為O，直徑AB是河底線，弦CD是水位線，CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD于點E．已測得sin∠DOE = ．
（1）求半徑OD；
（2）根據需要，水面要以每小時0.5 m的速度下降，
則經過多長時間才能將水排干？
5.（2010年，2分）如圖3，在5×5正方形網格中，一條圓弧
經過A，B，C三點， 那么這條圓弧所在圓的圓心是（ ）
A．點P B．點Q C．點R D．點M
6.（2010年，3分）某盞路燈照射的空間可以看成如圖9所示
的圓錐，它的高AO = 8米，母線AB與底面半徑OB的夾角
為 ， ，則圓錐的底面積是 平方米（結果保留π）．
7.（2009年，10分）如圖13-1至圖13-5，⊙O均作無滑動滾動，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O與線段AB或BC相切于端點時刻的位置，⊙O的周長為c．
閱讀理解：
（1）如圖13-1，⊙O從⊙O1的位置出發(fā)，沿AB滾動到
⊙O2的位置，當AB = c時，⊙O恰好自轉1周．
（2）如圖13-2，∠ABC相鄰的補角是n°，⊙O在
∠ABC外部沿A-B-C滾動，在點B處，必須由
⊙O1的位置旋轉到⊙O2的位置，⊙O繞點B旋
轉的角∠O1BO2 = n°，⊙O在點B處自轉 周．
實踐應用：
（1）在閱讀理解的（1）中，若AB = 2c，則⊙O自
轉 周；若AB = l，則⊙O自轉 周．在
閱讀理解的（2）中，若∠ABC = 120°，則⊙O
在點B處自轉 周；若∠ABC = 60°，則⊙O
在點B處自轉 周．
（2）如圖13-3，∠ABC=90°，AB=BC= c．⊙O從
⊙O1的位置出發(fā)，在∠ABC外部沿A-B-C滾動
到⊙O4的位置，⊙O自轉 周．
拓展聯(lián)想：
（1）如圖13-4，△ABC的周長為l，⊙O從與AB相切于點D的位置出發(fā)，在△ABC外部，按順時針方向沿三角形滾動，又回到與AB相切于點D的位置，⊙O自轉了多少周？請說明理由．
（2）如圖13-5，多邊形的周長為l，⊙O從與某邊相切于
點D的位置出發(fā)，在多邊形外部，按順時針方向沿多
邊形滾動，又回到與該邊相切于點D的位置，直接寫
出⊙O自轉的周數．
8.（2010年，10分）
觀察思考
某種在同一平面進行傳動的機械裝置如圖14-1，圖14-2
是它的示意圖．其工作原理是：滑塊Q在平直滑道l上可以
左右滑動，在Q滑動的過程中，連桿PQ也隨之運動，并且
PQ帶動連桿OP繞固定點O擺動．在擺動過程中，兩連桿的接點P在以OP為半徑的⊙O上運動．數學興趣小組為進一步研
究其中所蘊含的數學知識，過點O作OH ⊥l于點H，并測得
OH = 4分米，PQ = 3分米，OP = 2分米．
解決問題
（1）點Q與點O間的小距離是 分米；
點Q與點O間的大距離是 分米；
點Q在l上滑到左端的位置與滑到右端位置間
的距離是 分米．
（2）如圖14-3，小明同學說：“當點Q滑動到點H的位
置時，PQ與⊙O是相切的．”你認為他的判斷對嗎？
為什么？
（3）①小麗同學發(fā)現：“當點P運動到OH上時，點P到l
的距離?。笔聦嵣希€存在著點P到l距離大
的位置，此時，點P到l的距離是 分米；
②當OP繞點O左右擺動時，所掃過的區(qū)域為扇形，
求這個扇形面積大時圓心角的度數．
9.（2010年，8分）如圖11-1，正方形ABCD是一個6 × 6網格電子屏的示意圖，其中每個小正方形的邊長為1．位于AD中點處的光點P按圖11-2的程序移動．
（1）請在圖11-1中畫出光點P經過的路徑；
（2）求光點P經過的路徑總長（結果保留π）．
課時24．圓
【考點鏈接】
一、圓的有關概念
1. 圓上各點到圓心的距離都等于 .
2. 圓是 對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的 ；圓又
是 對稱圖形， 是它的對稱中心.
3. 垂直于弦的直徑平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直徑）的 垂直于弦，并且平分 .
4. 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，兩個圓周角中有一組量 ，那么它們所對應的其余各組量都分別 .
5. 同弧或等弧所對的圓周角 ，都等于它所對的圓心角的 .
6. 直徑所對的圓周角是 ，90°所對的弦是 .
二、與圓有關的位置關系
1. 點與圓的位置關系共有三種：① ，② ，③ ；對應的點到圓心的距離d和半徑r之間的數量關系分別為：
①d r，②d r，③d r.
2. 直線與圓的位置關系共有三種：① ，② ，③ .
對應的圓心到直線的距離d和圓的半徑r之間的數量關系分別為：
①d r，②d r，③d r.
3. 圓與圓的位置關系共有五種：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ；兩圓的圓心距d和兩圓的半徑R、r（R≥r）之間的數量關系分別為：①d R－r，②d R－r，③ R－r d R＋r，④d R＋r，⑤d R＋r.
4. 圓的切線 過切點的半徑；經過 的一端，并且 這條 的直線是圓的切線.
5. 從圓外一點可以向圓引 條切線， 相等， 相等.
6. 三角形的三個頂點確定 個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，三角形的外接圓的圓心叫 心，是三角形 的交點，它到 相等。
7. 與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的 ，內切圓的圓心是三角形 的交點，叫做三角形的 ，它到 相等.
三、與圓有關的計算
1. 圓的周長為 ，1°的圓心角所對的弧長為 ，n°的圓心角所對
的弧長為 ，弧長公式為 .
2. 圓的面積為 ，1°的圓心角所在的扇形面積為 ，n°的圓心角所在的扇形面積為S= = = .
3. 圓柱的側面積公式：S= .（其中 為 的半徑， 為 的高）。
4. 圓柱的全面積公式：S= + 。
5. 圓錐的側面積公式：S= .（其中 為 的半徑， 為 的長）。
6. 圓錐的全面積公式：S= + 。
【河北三年中考試題】
1.（2008年，2分）如圖3，已知⊙O的半徑為5，點 到弦
的距離為3，則⊙O上到弦 所在直線的距離為2的點有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2.（2008年，3分）如圖7， 與⊙O相切于點 ，
的延長線交⊙O于點 ，連結 ．若 ，
則 ．
3.（2009年，2分）如圖2，四個邊長為1的小正方形拼成一個大
正方形，A、B、O是小正方形頂點，⊙O的半徑為1，P是⊙O上
的點，且位于右上方的小正方形內，則∠APB等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4.（2009年，8分）圖10是一個半圓形橋洞截面示意圖，圓心為O，直徑AB是河底線，弦CD是水位線，CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD于點E．已測得sin∠DOE = ．
（1）求半徑OD；
（2）根據需要，水面要以每小時0.5 m的速度下降，
則經過多長時間才能將水排干？
5.（2010年，2分）如圖3，在5×5正方形網格中，一條圓弧
經過A，B，C三點， 那么這條圓弧所在圓的圓心是（ ）
A．點P B．點Q C．點R D．點M
6.（2010年，3分）某盞路燈照射的空間可以看成如圖9所示
的圓錐，它的高AO = 8米，母線AB與底面半徑OB的夾角
為 ， ，則圓錐的底面積是 平方米（結果保留π）．
7.（2009年，10分）如圖13-1至圖13-5，⊙O均作無滑動滾動，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O與線段AB或BC相切于端點時刻的位置，⊙O的周長為c．
閱讀理解：
（1）如圖13-1，⊙O從⊙O1的位置出發(fā)，沿AB滾動到
⊙O2的位置，當AB = c時，⊙O恰好自轉1周．
（2）如圖13-2，∠ABC相鄰的補角是n°，⊙O在
∠ABC外部沿A-B-C滾動，在點B處，必須由
⊙O1的位置旋轉到⊙O2的位置，⊙O繞點B旋
轉的角∠O1BO2 = n°，⊙O在點B處自轉 周．
實踐應用：
（1）在閱讀理解的（1）中，若AB = 2c，則⊙O自
轉 周；若AB = l，則⊙O自轉 周．在
閱讀理解的（2）中，若∠ABC = 120°，則⊙O
在點B處自轉 周；若∠ABC = 60°，則⊙O
在點B處自轉 周．
（2）如圖13-3，∠ABC=90°，AB=BC= c．⊙O從
⊙O1的位置出發(fā)，在∠ABC外部沿A-B-C滾動
到⊙O4的位置，⊙O自轉 周．
拓展聯(lián)想：
（1）如圖13-4，△ABC的周長為l，⊙O從與AB相切于點D的位置出發(fā)，在△ABC外部，按順時針方向沿三角形滾動，又回到與AB相切于點D的位置，⊙O自轉了多少周？請說明理由．
（2）如圖13-5，多邊形的周長為l，⊙O從與某邊相切于
點D的位置出發(fā)，在多邊形外部，按順時針方向沿多
邊形滾動，又回到與該邊相切于點D的位置，直接寫
出⊙O自轉的周數．
8.（2010年，10分）
觀察思考
某種在同一平面進行傳動的機械裝置如圖14-1，圖14-2
是它的示意圖．其工作原理是：滑塊Q在平直滑道l上可以
左右滑動，在Q滑動的過程中，連桿PQ也隨之運動，并且
PQ帶動連桿OP繞固定點O擺動．在擺動過程中，兩連桿的接點P在以OP為半徑的⊙O上運動．數學興趣小組為進一步研
究其中所蘊含的數學知識，過點O作OH ⊥l于點H，并測得
OH = 4分米，PQ = 3分米，OP = 2分米．
解決問題
（1）點Q與點O間的小距離是 分米；
點Q與點O間的大距離是 分米；
點Q在l上滑到左端的位置與滑到右端位置間
的距離是 分米．
（2）如圖14-3，小明同學說：“當點Q滑動到點H的位
置時，PQ與⊙O是相切的．”你認為他的判斷對嗎？
為什么？
（3）①小麗同學發(fā)現：“當點P運動到OH上時，點P到l
的距離?。笔聦嵣希€存在著點P到l距離大
的位置，此時，點P到l的距離是 分米；
②當OP繞點O左右擺動時，所掃過的區(qū)域為扇形，
求這個扇形面積大時圓心角的度數．
9.（2010年，8分）如圖11-1，正方形ABCD是一個6 × 6網格電子屏的示意圖，其中每個小正方形的邊長為1．位于AD中點處的光點P按圖11-2的程序移動．
（1）請在圖11-1中畫出光點P經過的路徑；
（2）求光點P經過的路徑總長（結果保留π）．