例3
如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過點O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標；
（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時向上平移，分別交拋物線于點O1、A1、C1、B1，得到如圖2的梯形O
（3）在圖1中，設點D的坐標為(1，3)，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運動，動點Q從點D出發(fā)，以與點P相同的速度沿著線段DM運動．P、Q兩點同時出發(fā)，當點Q到達點M時，P、Q兩點同時停止運動．設P、Q兩點的運動時間為t，是否存在某一時刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
考點伸展 例4 如圖1，已知點A (-2，4) 和點B (1，0)都在拋物線 （1）求m、n； （2）向右平移上述拋物線，記平移后點A的對應點為A′，點B的對應點為B′，若四邊形A A′B′B為菱形，求平移后拋物線的表達式； （3）記平移后拋物線的對稱軸與直線AB′ 的交點為C，試在x軸上找一個點D，使得以點B′、C、D為頂點的三角形與△ABC相似． 因此平移后的拋物線的解析式為 ． (3) 由點A (-2，4) 和點B′ (6，0)，可得A B′＝ 如圖2，由AM//CN，可得，即．解得．所以．根據菱形的性質，在△ABC與△B′CD中，∠BAC＝∠CB′D． ①如圖3，當 時， ，解得 ．此時OD＝3，點D的坐標為（3，0）． ②如圖4，當 時， ，解得 ．此時OD＝ ，點D的坐標為（ ，0）． 考點伸展 在本題情境下，我們還可以探求△B′CD與△AB B′相似，其實這是有公共底角的兩個等腰三角形，容易想象，存在兩種情況． 我們也可以討論△B′CD與△CB B′相似，這兩個三角形有一組公共角∠B，根據對應邊成比例，分兩種情況計算．
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“10義烏24”，拖動點I上下運動，觀察圖形和圖像，可以體驗到，x2－x1隨S的增大而減?。p擊按鈕“第（3）題”，拖動點Q在DM上運動，可以體驗到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF與△GQE相似．
思路點撥
1．第（2）題用含S的代數式表示x2－x1，我們反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移過程中梯形的高保持不變，即y2－y1＝3．通過代數變形就可以了．
2．第（3）題的障礙在于畫示意圖，在沒有計算結果的情況下，無法畫出準確的位置關系，因此本題的策略是先假設，再說理計算，后驗證．
3．第（3）題的示意圖，不變的關系是：直線AB與x軸的夾角不變，直線AB與拋物線的對稱軸的夾角不變．變化的直線PQ的斜率，因此假設直線PQ與AB的交點G在x軸的下方，或者假設交點G在x軸的上方．
滿分解答
（1）拋物線的對稱軸為直線 ，解析式為 ，頂點為M（1， ）．
（2） 梯形O1A1B1C1的面積 ，由此得到 ．由于 ，所以 ．整理，得 ．因此得到 ．
當S=36時， 解得 此時點A1的坐標為（6，3）．
（3）設直線AB與PQ交于點G，直線AB與拋物線的對稱軸交于點E，直線PQ與x軸交于點F，那么要探求相似的△GAF與△GQE，有一個公共角∠G．
在△GEQ中，∠GEQ是直線AB與拋物線對稱軸的夾角，為定值．
在△GAF中，∠GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且∠GEQ≠∠GAF．
因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．這時∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．
第（3）題是否存在點G在x軸上方的情況？如圖4，假如存在，說理過程相同，求得的t的值也是相同的．事實上，圖3和圖4都是假設存在的示意圖，實際的圖形更接近圖3
動感體驗
請打開幾何畫板文件名“10寶山24”，拖動點A′向右平移，可以體驗到，平移5個單位后，四邊形A A′B′B為菱形．再拖動點D在x軸上運動，可以體驗到，△B′CD與△ABC相似有兩種情況．
思路點撥
1．點A與點B的坐標在3個題目中處處用到，各具特色．第（1）題用在待定系數法中；第（2）題用來計算平移的距離；第（3）題用來求點B′ 的坐標、AC和B′C的長．
2．拋物線左右平移，變化的是對稱軸，開口和形狀都不變．
3．探求△ABC與△B′CD相似，根據菱形的性質，∠BAC＝∠CB′D，因此按照夾角的兩邊對應成比例，分兩種情況討論．
滿分解答
(1) 因為點A (-2，4) 和點B (1，0)都在拋物線 上，所以 解得 ， ．
(2)如圖2，由點A (-2，4) 和點B (1，0)，可得AB＝5．因為四邊形A A′B′B為菱形，所以A A′＝B′B＝ AB＝5．因為 ，所以原拋物線的對稱軸x＝－1向右平移5個單位后，對應的直線為x＝4．
