9.8圓錐曲線的綜合問題
★知識梳理★
1.直線與圓錐曲線C的位置關(guān)系：
將直線 的方程代入曲線C的方程，消去y或者消去x，得到一個關(guān)于x（或y）的方程ax2＋bx＋c＝0.
(1)交點個數(shù)：
①當(dāng) a＝0或a≠0，⊿＝0 時,曲線和直線只有一個交點；②當(dāng) a≠0,⊿>0時,曲線和直線有兩個交點；③ 當(dāng)⊿<0 時,曲線和直線沒有交點。
(2) 弦長公式：
2.對稱問題：
曲線上存在兩點關(guān)于已知直線對稱的條件：①曲線上兩點所在的直線與已知直線垂直（得出斜率）②曲線上兩點所在的直線與曲線有兩個公共點（⊿>0）③曲線上兩點的中點在對稱直線上。
3.求動點軌跡方程：
①軌跡類型已確定的,一般用待定系數(shù)法；②動點滿足的條件在題目中有明確的表述且軌跡類型未知的,一般用直接法；③一動點隨另一動點的變化而變化，一般用代入轉(zhuǎn)移法。
★重難點突破★
重點：掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷方法及弦長公式；掌握弦中點軌跡的求法； 理解和掌握求曲線方程的方法與步驟，能利用方程求圓錐曲線的有關(guān)范圍與值
難點：軌跡方程的求法及圓錐曲線的有關(guān)范圍與值問題
重難點：綜合運用方程、函數(shù)、不等式、軌跡等方面的知識解決相關(guān)問題
1.體會“設(shè)而不求”在解題中的簡化運算功能
①求弦長時用韋達定理設(shè)而不求;②弦中點問題用“點差法”設(shè)而不求.
2.體會數(shù)學(xué)思想方法（以方程思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想為主）在解題中運用
問題1：已知點 為橢圓 的左焦點，點 ，動點 在橢圓上，則 的小值為 .
點撥：設(shè) 為橢圓的右焦點，利用定義將 轉(zhuǎn)化為 ，結(jié)合圖形， ，當(dāng) 共線時小，小值為
★熱點考點題型探析★
考點1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
題型1：交點個數(shù)問題
[例1 ] 設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是（ ?。?BR> A．[－ ， ] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]
【解題思路】解決直線與圓錐曲線的交點個數(shù)問題的通法為判別式法
[解析] 易知拋物線 的準(zhǔn)線 與x軸的交點為Q (－2 , 0)，
于是，可設(shè)過點Q (－2 , 0)的直線 的方程為 ，
聯(lián)立
其判別式為 ，可解得 ，應(yīng)選C.
【指引】（1）解決直線與圓錐曲線的交點問題的方法：一是判別式法；二是幾何法
（2）直線與圓錐曲線有交點，不等價于直線與圓錐曲線相切，還有一種情況是平行于對稱軸（拋物線）或平行于漸近線（雙曲線）
（3）聯(lián)立方程組、消元后得到一元二次方程，不但要對 進行討論，還要對二次項系數(shù)是否為0進行討論
【新題導(dǎo)練】
1. （09摸底）已知將圓 上的每一點的縱坐標(biāo)壓縮到原來的 ,對應(yīng)的橫坐標(biāo)不變,得到曲線C；設(shè) ，平行于OM的直線 在y軸上的截距為m(m≠0),直線 與曲線C交于A、B兩個不同點.
(1)求曲線 的方程；(2)求m的取值范圍.
[解析]（1）設(shè)圓上的動點為 壓縮后對應(yīng)的點為 ，則 ，
代入圓的方程得曲線C的方程：
（2）∵直線 平行于OM，且在y軸上的截距為m,又 ,
∴直線 的方程為 . 由 , 得
∵直線 與橢圓交于A、B兩個不同點，∴
解得 .∴m的取值范圍是 .
題型2：與弦中點有關(guān)的問題
[例2]（08韶關(guān)調(diào)研）已知點A、B的坐標(biāo)分別是 ， .直線 相交于點M，且它們的斜率之積為－2. (Ⅰ)求動點M的軌跡方程;
(Ⅱ)若過點 的直線 交動點M的軌跡于C、D兩點, 且N為線段CD的中點，求直線 的方程.
【解題思路】弦中點問題用“點差法”或聯(lián)立方程組，利用韋達定理求解
[解析] (Ⅰ)設(shè) ，
因為 ,所以 化簡得:
(Ⅱ) 設(shè)
當(dāng)直線 ⊥x軸時, 的方程為 ,則 ,它的中點不是N,不合題意
設(shè)直線 的方程為 將 代入 得
…………(1) …………(2)
(1)－(2)整理得:
直線 的方程為 即所求直線 的方程為
解法二: 當(dāng)直線 ⊥x軸時,直線 的方程為 ,則 ,
其中點不是N,不合題意.故設(shè)直線 的方程為 ,
將其代入 化簡得
由韋達定理得 ,
又由已知N為線段CD的中點,得 ,解得 ,
將 代入(1)式中可知滿足條件.
此時直線 的方程為 ,即所求直線 的方程為
【指引】通過將C、D的坐標(biāo)代入曲線方程，再將兩式相減的過程，稱為代點相減．這里，代點相減后，適當(dāng)變形，出現(xiàn)弦PQ的斜率和中點坐標(biāo)，是實現(xiàn)設(shè)而不求（即點差法）的關(guān)鍵．兩種解法都要用到“設(shè)而不求”，它對簡化運算的作用明顯，用“點差法”解決弦中點問題更簡潔
【新題導(dǎo)練】
2.橢圓 的弦被點 所平分，求此弦所在直線的方程。
[解析]設(shè)弦所在直線與橢圓交于 兩點，則
， ，兩式相減得： ，
化簡得 ，
把 代入得
故所求的直線方程為 ，即
3.已知直線y＝－x＋1與橢圓 相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線L：x－2y＝0上，求此橢圓的離心率
[解析] 設(shè) ，AB的中點為 ,
代入橢圓方程得 ， ,兩式相減,得 .
AB的中點為 在直線 上， ，
，而
題型3：與弦長有關(guān)的問題
[例3](山東泰州市聯(lián)考)已知直線 被拋物線 截得的弦長 為20， 為坐標(biāo)原點．（1）求實數(shù) 的值；
（2）問點 位于拋物線弧 上何處時，△ 面積大？
【解題思路】用“韋達定理”求弦長；考慮△ 面積的大值取得的條件
[解析]（1）將 代入 得 ，
由△ 可知 ，弦長AB ，解得 ；
（2）當(dāng) 時，直線為 ，要使得內(nèi)接△ABC面積大，
則只須使得 ，即 ，即 位于（4，4）點處．
【指引】用“韋達定理”不要忘記用判別式確定范圍
【新題導(dǎo)練】
4. (山東省濟南市高三統(tǒng)一考試)
已知橢圓 與直線 相交于兩點 ．
（1）當(dāng)橢圓的半焦距 ，且 成等差數(shù)列時，求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，求弦 的長度 ；
[解析]（1）由已知得： ，∴
所以橢圓方程為：
（2） ，由 ，得
∴ ∴
（文）已知點 和 ，動點C到A、B兩點的距離之差的絕對值為2，點C的軌跡與直線 交于D、E兩點，求線段DE的長．
（文）解：根據(jù)雙曲線的定義，可知C的軌跡方程為 ．設(shè) ， ，
聯(lián)立 得 ．則 ．
所以 ．
故線段DE的長為 ．
考點2：對稱問題
題型：對稱的幾何性質(zhì)及對稱問題的求法（以點的對稱為主線，軌跡法為基本方法）
【新題導(dǎo)練】
[例4 ] 若直線l過圓x2＋y2＋4x－2y＝0的圓心M交橢圓 ＝1于A、B兩點，若A、B關(guān)于點M對稱，求直線l的方程．
[解析] ，設(shè) ，則
又 ， ，兩式相減得： ，
化簡得 ，
把 代入得
故所求的直線方程為 ，即
所以直線l的方程為 ：8x－9y＋25＝0.
5.已知拋物線y2＝2px上有一內(nèi)接正△AOB，O為坐標(biāo)原點.
求證：點A、B關(guān)于x軸對稱；
[解析]設(shè) ， ， ，
，即 ，
， ， ，故點A、B關(guān)于x軸對稱
6.在拋物線y2＝4x上恒有兩點關(guān)于直線y＝kx＋3對稱，求k的取值范圍.
[解析] （1）當(dāng) 時，曲線上不存在關(guān)于直線對稱的兩點．
（2）當(dāng)k≠0時，設(shè)拋物線y2＝4x上關(guān)于直線對稱的兩點 ，AB的中點為 ，則直線 直線的斜率為直線 ，可設(shè)
代入y2＝4x得
，
在直線y＝kx＋3上， ，
代入 得即 ,又 恒成立，所以－1＜k＜0．
綜合（1）（2），k的取值范圍是（－1，0）
考點3 圓錐曲線中的范圍、值問題
題型：求某些變量的范圍或值
[例5]已知橢圓 與直線 相交于兩點 ．當(dāng)橢圓的離心率 滿足 ，且 （ 為坐標(biāo)原點）時，求橢圓長軸長的取值范圍．
【解題思路】通過“韋達定理”溝通a與e的關(guān)系
[解析]由 ，得
由 ，得 此時
由 ，得 ，∴
即 ，故 由 ，得
∴ 由 得 ，∴
所以橢圓長軸長的取值范圍為
【指引】求范圍和值的方法：
幾何方法：充分利用圖形的幾何特征及意義，考慮幾何性質(zhì)解決問題
代數(shù)方法：建立目標(biāo)函數(shù)，再求目標(biāo)函數(shù)的值．
【新題導(dǎo)練】
7. 已知P是橢圓C： 的動點，點 關(guān)于原點O的對稱點是B，若|PB|的小值為 ，求點P的橫坐標(biāo)的取值范圍。
[解析]由 ，設(shè)
，
， ，解得 或
又 或
8. 定長為3的線段AB的兩個端點在拋物線 上移動，記線段AB的中點為M，求點M到y(tǒng)軸的短距離，并求此時點M的坐標(biāo)．
[解析] 設(shè) ， ，
因AB與x軸不平行，故可設(shè)AB的方程為 ，
將它代入 得
由 得 即
，
將 代入得
當(dāng)且僅當(dāng) 即 時取等號，此時，
所以，點M 為 或 時，到y(tǒng)軸的短距離小，小值為 ．
9.直線m：y＝kx＋1和雙曲線x2－y2＝1的左支交于A，B兩點，直線 過點P（－2，0）和線段AB的中點M，求 在y軸上的截距b的取值范圍．
[解析] 由 消去y得：
解得
設(shè)M（x0，y0）則
三點共線
令 上為減函數(shù).
10.已知橢圓 ，A（4，0），B（2，2）是橢圓內(nèi)的兩點，P是橢圓上任一點，求：（1）求 的小值；
（2）求|PA|＋|PB|的小值和大值．
[解析]（1）小值為
（2）大值為10＋|BC|＝ ；小值為10－|BC|＝ ．
考點4 定點，定值的問題
題型：論證曲線過定點及圖形（點）在變化過程中存在不變量
[例6] 已知P、Q是橢圓C： 上的兩個動點， 是橢圓上一定點， 是其左焦點，且|PF|、|MF|、|QF|成等差數(shù)列。
求證：線段PQ的垂直平分線經(jīng)過一個定點A；
【解題思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差數(shù)列”找出兩動點間的坐標(biāo)關(guān)系
證明：設(shè) 知
同理
①當(dāng) ，
從而有 設(shè)PQ的中點為 ，
得線段PQ的中垂線方程為
②當(dāng)
線段PQ的中垂線是x軸，也過點
【指引】定點與定值問題的處理一般有兩種方法：
（1）從特殊入手，求出定點和定值，再證明這個點（值）與變量無關(guān);
（2）直接推理、計算，并在計算過程中消去變量，從而得到定點（定值）．
【新題導(dǎo)練】
11.已知拋物線C的方程為y＝x2－2m2x－(2m2＋1) (m∈R)，則拋物線C恒過定點
[解析](－1,0) [令x＝－1得y＝0]
12.試證明雙曲線 － ＝1（a＞0，b＞0）上任意一點到它的兩條漸近線的距離之積為常數(shù).
[解析] 雙曲線上任意一點為 ，
它到兩漸近線的距離之積
考點6 曲線與方程
題型：用幾種基本方法求軌跡方程
[例7]已知拋物線C： y2＝4x，若橢圓左焦點及相應(yīng)的準(zhǔn)線與拋物線C的焦點F及準(zhǔn)線l分別重合，試求橢圓短軸端點B與焦點F連線中點P的軌跡方程；
【解題思路】探求動點滿足的幾何關(guān)系，在轉(zhuǎn)化為方程
［解析］由拋物線y2＝4x,得焦點F(1,0),準(zhǔn)線 x＝－1
(1)設(shè)P(x,y)，則B(2x－1,2y), 橢圓中心O′,則|FO′|∶|BF|＝e,
又設(shè)點B到l的距離為d,則|BF|∶d＝e,∴|FO′|∶|BF|＝|BF|∶d,
即(2x－2)2＋(2y)2＝2x(2x－2),化簡得P點軌跡方程為y2＝x－1(x＞1)
[指引] 求曲線方程的方法主要有：直接法、定義法、代入法、參數(shù)法，本題用到直接法，但題目條件需要轉(zhuǎn)化
【新題導(dǎo)練】
13.點P為雙曲線 上一動點，O為坐標(biāo)原點，M為線段OP中點，則點M的軌跡方程是 .
[解析] [相關(guān)點法]
14.過雙曲線C: 的右焦點F作直線l與雙曲線C交于P、Q兩點， ,求點M的軌跡方程．
[解析]右焦點（2，0），設(shè)
得 ， ，直線l的斜率
又 , ,兩式相減得 ,
把 ， ， 代入上式得
15.已知動點 與雙曲線 的兩個焦點 、 的距離之和為定值，且 的小值為 ．求動點 的軌跡方程；
[解析]（1）由條件知，動點 的軌跡為橢圓，其中半焦距為 ，
點P在y軸上時 大，由余弦定理得 ，動點 的軌跡方程 ．
16. (廣東實驗中學(xué))已知圓C: .
(1)直線 過點P(1,2)，且與圓C交于A、B兩點，若 ，求直線 的方程；
(2)過圓C上一動點M作平行于y軸的直線m，設(shè)m與x軸的交點為N，若向量 ，求動點 的軌跡方程.
(3) 若點R(1,0)，在（2）的條件下，求 的小值.
解析（1）①當(dāng)直線 垂直于 軸時，則此時直線方程為 ， 與圓的兩個交點坐標(biāo)為 和 ，其距離為 ，滿足題意 ……1分
②若直線 不垂直于 軸，設(shè)其方程為 ，即 …2分
設(shè)圓心到此直線的距離為 ，則 ，得
∴ ， ，………4分 故所求直線方程為3x－4y＋5＝0
綜上所述，所求直線為3x－4y＋5＝0或x＝1 ……………5分
(2)設(shè)點M的坐標(biāo)為(x0,y0)，Q點坐標(biāo)為(x,y)則N點坐標(biāo)是(x0, 0)
∵ ，∴ 即 ， ………7分
又∵ ，∴ …………9分
直線m //y軸，所以， ,∴ 點的軌跡方程是 ( )……10分
（3）設(shè)Q坐標(biāo)為(x,y)， ， ，……11分
又 ( )可得：
.………13分
…………14分
★課后訓(xùn)練★
基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練
1. 已知 是三角形的一個內(nèi)角，且 ，則方程 表示
（A）焦點在x軸上的橢圓 （B）焦點在y軸上的橢圓
（C）焦點在x 軸上的雙曲線 （D）焦點在y 軸上的雙曲線
1.[解析] B. 由 知 ，
2. 已知點M（3，4）在一橢圓上，則以點M為頂點的橢圓的內(nèi)接矩形的面積是（ ）
（A）12 （B）24 （C）48 （D）與橢圓有關(guān)
2. [解析] C [由橢圓的對稱性可知];
3. 已知點F（ ，直線 ，點B是l上的動點.若過B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點M，則點M的軌跡是 （ ）
A．雙曲線 B．橢圓 C．圓 D．拋物線
3.[解析]D. [MB＝MF]
4. 過雙曲線 的右焦點作直線交雙曲線于A、B兩點，且 ，則這樣的直線有___________條.
4.[解析] 3； 垂直于實軸的弦長為4,實軸長為2.
5. 是橢圓 的左、右焦點，點 在橢圓上運動，則 的大值是 ．
5.[解析] ≤ ;
6. 若雙曲線 與圓 有公共點，則實數(shù) 的取值范圍為 .
6. [解析] [ ]
綜合提高訓(xùn)練
7. 已知拋物線 的弦AB經(jīng)過點P（4，2）且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點），弦AB所在直線的方程為
7.[解析] 12x —23y—2＝0 記住結(jié)論：
8.已知橢圓 ，直線l到原點的距離為 求證：直線l與橢圓必有兩上交點.
8.[解析] 證明：當(dāng)直線l垂直x軸時，由題意知：
不妨取 代入曲線E的方程得：
即G（ ， ），H（ ，－ ）有兩個不同的交點，
當(dāng)直線l不垂直x軸時，設(shè)直線l的方程為：
由題意知：
由
∴直線l與橢圓E交于兩點, 綜上，直線l必與橢圓E交于兩點
9. 求過橢圓 內(nèi)一點A（1，1）的弦PQ的中點M的軌跡方程．
9.［解析］解：設(shè)動弦PQ的方程為 ，設(shè)P（ ），Q（ ），M（ ），則： ① ②
①－②得：
當(dāng) 時，
由題意知 ，即 ③
③式與 聯(lián)立消去k，得 ④
當(dāng) 時，k不存在，此時， ，也滿足④．
故弦PQ的中點M的軌跡方程為：
10 .已知拋物線 ．過動點M（ ，0）且斜率為1的直線 與該拋物線交于不同的兩點A、B．若 ,求a的取值范圍．
10 .[解析]直線 的方程為 ，將 ，
得: ．
設(shè)直線 與拋物線的兩個不同交點的坐標(biāo)為 、 ，
則 又 ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
解得 ．
11. 過拋物線 的焦點作一條斜率為k(k≠0)的弦，此弦滿足：①弦長不超過8；②弦所在的直線與橢圓3x2 ＋ 2y2 ＝ 2相交，求k的取值范圍．
11. 解析：拋物線 的焦點為(1，0)，設(shè)弦所在直線方程為
由 得 2分
∴ 故
由 ，解得k≥1
由 得 8分
由 ，解得k2 < 3 因此1≤k2 < 3
∴k的取值范圍是[ ，－1]∪[1， ]
12. 在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知兩點A（－2，0）及B（2，0），動點Q到點A的距離為6，線段BQ的垂直平分線交AQ于點P。
（Ⅰ）證明|PA|＋|PB|為常數(shù)，并寫出點P的軌跡T的方程；
12. 解：）連結(jié)PB∵線段BQ的垂直平分線與AQ交于點P，∴|PB|＝|PQ|，又|AQ|＝6，
∴|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PQ|＝|AQ|＝6（常數(shù)）。
又|PA|＋|PB|>|AB|，從而P點的軌跡T是中心在原點，以A、B為兩個焦點，長軸在x軸上的橢圓，其中，2a＝6，2c＝4，∴橢圓方程為
★知識梳理★
1.直線與圓錐曲線C的位置關(guān)系：
將直線 的方程代入曲線C的方程，消去y或者消去x，得到一個關(guān)于x（或y）的方程ax2＋bx＋c＝0.
(1)交點個數(shù)：
①當(dāng) a＝0或a≠0，⊿＝0 時,曲線和直線只有一個交點；②當(dāng) a≠0,⊿>0時,曲線和直線有兩個交點；③ 當(dāng)⊿<0 時,曲線和直線沒有交點。
(2) 弦長公式：
2.對稱問題：
曲線上存在兩點關(guān)于已知直線對稱的條件：①曲線上兩點所在的直線與已知直線垂直（得出斜率）②曲線上兩點所在的直線與曲線有兩個公共點（⊿>0）③曲線上兩點的中點在對稱直線上。
3.求動點軌跡方程：
①軌跡類型已確定的,一般用待定系數(shù)法；②動點滿足的條件在題目中有明確的表述且軌跡類型未知的,一般用直接法；③一動點隨另一動點的變化而變化，一般用代入轉(zhuǎn)移法。
★重難點突破★
重點：掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷方法及弦長公式；掌握弦中點軌跡的求法； 理解和掌握求曲線方程的方法與步驟，能利用方程求圓錐曲線的有關(guān)范圍與值
難點：軌跡方程的求法及圓錐曲線的有關(guān)范圍與值問題
重難點：綜合運用方程、函數(shù)、不等式、軌跡等方面的知識解決相關(guān)問題
1.體會“設(shè)而不求”在解題中的簡化運算功能
①求弦長時用韋達定理設(shè)而不求;②弦中點問題用“點差法”設(shè)而不求.
2.體會數(shù)學(xué)思想方法（以方程思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想為主）在解題中運用
問題1：已知點 為橢圓 的左焦點，點 ，動點 在橢圓上，則 的小值為 .
點撥：設(shè) 為橢圓的右焦點，利用定義將 轉(zhuǎn)化為 ，結(jié)合圖形， ，當(dāng) 共線時小，小值為
★熱點考點題型探析★
考點1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
題型1：交點個數(shù)問題
[例1 ] 設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是（ ?。?BR> A．[－ ， ] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]
【解題思路】解決直線與圓錐曲線的交點個數(shù)問題的通法為判別式法
[解析] 易知拋物線 的準(zhǔn)線 與x軸的交點為Q (－2 , 0)，
于是，可設(shè)過點Q (－2 , 0)的直線 的方程為 ，
聯(lián)立
其判別式為 ，可解得 ，應(yīng)選C.
【指引】（1）解決直線與圓錐曲線的交點問題的方法：一是判別式法；二是幾何法
（2）直線與圓錐曲線有交點，不等價于直線與圓錐曲線相切，還有一種情況是平行于對稱軸（拋物線）或平行于漸近線（雙曲線）
（3）聯(lián)立方程組、消元后得到一元二次方程，不但要對 進行討論，還要對二次項系數(shù)是否為0進行討論
【新題導(dǎo)練】
1. （09摸底）已知將圓 上的每一點的縱坐標(biāo)壓縮到原來的 ,對應(yīng)的橫坐標(biāo)不變,得到曲線C；設(shè) ，平行于OM的直線 在y軸上的截距為m(m≠0),直線 與曲線C交于A、B兩個不同點.
(1)求曲線 的方程；(2)求m的取值范圍.
[解析]（1）設(shè)圓上的動點為 壓縮后對應(yīng)的點為 ，則 ，
代入圓的方程得曲線C的方程：
（2）∵直線 平行于OM，且在y軸上的截距為m,又 ,
∴直線 的方程為 . 由 , 得
∵直線 與橢圓交于A、B兩個不同點，∴
解得 .∴m的取值范圍是 .
題型2：與弦中點有關(guān)的問題
[例2]（08韶關(guān)調(diào)研）已知點A、B的坐標(biāo)分別是 ， .直線 相交于點M，且它們的斜率之積為－2. (Ⅰ)求動點M的軌跡方程;
(Ⅱ)若過點 的直線 交動點M的軌跡于C、D兩點, 且N為線段CD的中點，求直線 的方程.
【解題思路】弦中點問題用“點差法”或聯(lián)立方程組，利用韋達定理求解
[解析] (Ⅰ)設(shè) ，
因為 ,所以 化簡得:
(Ⅱ) 設(shè)
當(dāng)直線 ⊥x軸時, 的方程為 ,則 ,它的中點不是N,不合題意
設(shè)直線 的方程為 將 代入 得
…………(1) …………(2)
(1)－(2)整理得:
直線 的方程為 即所求直線 的方程為
解法二: 當(dāng)直線 ⊥x軸時,直線 的方程為 ,則 ,
其中點不是N,不合題意.故設(shè)直線 的方程為 ,
將其代入 化簡得
由韋達定理得 ,
又由已知N為線段CD的中點,得 ,解得 ,
將 代入(1)式中可知滿足條件.
此時直線 的方程為 ,即所求直線 的方程為
【指引】通過將C、D的坐標(biāo)代入曲線方程，再將兩式相減的過程，稱為代點相減．這里，代點相減后，適當(dāng)變形，出現(xiàn)弦PQ的斜率和中點坐標(biāo)，是實現(xiàn)設(shè)而不求（即點差法）的關(guān)鍵．兩種解法都要用到“設(shè)而不求”，它對簡化運算的作用明顯，用“點差法”解決弦中點問題更簡潔
【新題導(dǎo)練】
2.橢圓 的弦被點 所平分，求此弦所在直線的方程。
[解析]設(shè)弦所在直線與橢圓交于 兩點，則
， ，兩式相減得： ，
化簡得 ，
把 代入得
故所求的直線方程為 ，即
3.已知直線y＝－x＋1與橢圓 相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線L：x－2y＝0上，求此橢圓的離心率
[解析] 設(shè) ，AB的中點為 ,
代入橢圓方程得 ， ,兩式相減,得 .
AB的中點為 在直線 上， ，
，而
題型3：與弦長有關(guān)的問題
[例3](山東泰州市聯(lián)考)已知直線 被拋物線 截得的弦長 為20， 為坐標(biāo)原點．（1）求實數(shù) 的值；
（2）問點 位于拋物線弧 上何處時，△ 面積大？
【解題思路】用“韋達定理”求弦長；考慮△ 面積的大值取得的條件
[解析]（1）將 代入 得 ，
由△ 可知 ，弦長AB ，解得 ；
（2）當(dāng) 時，直線為 ，要使得內(nèi)接△ABC面積大，
則只須使得 ，即 ，即 位于（4，4）點處．
【指引】用“韋達定理”不要忘記用判別式確定范圍
【新題導(dǎo)練】
4. (山東省濟南市高三統(tǒng)一考試)
已知橢圓 與直線 相交于兩點 ．
（1）當(dāng)橢圓的半焦距 ，且 成等差數(shù)列時，求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，求弦 的長度 ；
[解析]（1）由已知得： ，∴
所以橢圓方程為：
（2） ，由 ，得
∴ ∴
（文）已知點 和 ，動點C到A、B兩點的距離之差的絕對值為2，點C的軌跡與直線 交于D、E兩點，求線段DE的長．
（文）解：根據(jù)雙曲線的定義，可知C的軌跡方程為 ．設(shè) ， ，
聯(lián)立 得 ．則 ．
所以 ．
故線段DE的長為 ．
考點2：對稱問題
題型：對稱的幾何性質(zhì)及對稱問題的求法（以點的對稱為主線，軌跡法為基本方法）
【新題導(dǎo)練】
[例4 ] 若直線l過圓x2＋y2＋4x－2y＝0的圓心M交橢圓 ＝1于A、B兩點，若A、B關(guān)于點M對稱，求直線l的方程．
[解析] ，設(shè) ，則
又 ， ，兩式相減得： ，
化簡得 ，
把 代入得
故所求的直線方程為 ，即
所以直線l的方程為 ：8x－9y＋25＝0.
5.已知拋物線y2＝2px上有一內(nèi)接正△AOB，O為坐標(biāo)原點.
求證：點A、B關(guān)于x軸對稱；
[解析]設(shè) ， ， ，
，即 ，
， ， ，故點A、B關(guān)于x軸對稱
6.在拋物線y2＝4x上恒有兩點關(guān)于直線y＝kx＋3對稱，求k的取值范圍.
[解析] （1）當(dāng) 時，曲線上不存在關(guān)于直線對稱的兩點．
（2）當(dāng)k≠0時，設(shè)拋物線y2＝4x上關(guān)于直線對稱的兩點 ，AB的中點為 ，則直線 直線的斜率為直線 ，可設(shè)
代入y2＝4x得
，
在直線y＝kx＋3上， ，
代入 得即 ,又 恒成立，所以－1＜k＜0．
綜合（1）（2），k的取值范圍是（－1，0）
考點3 圓錐曲線中的范圍、值問題
題型：求某些變量的范圍或值
[例5]已知橢圓 與直線 相交于兩點 ．當(dāng)橢圓的離心率 滿足 ，且 （ 為坐標(biāo)原點）時，求橢圓長軸長的取值范圍．
【解題思路】通過“韋達定理”溝通a與e的關(guān)系
[解析]由 ，得
由 ，得 此時
由 ，得 ，∴
即 ，故 由 ，得
∴ 由 得 ，∴
所以橢圓長軸長的取值范圍為
【指引】求范圍和值的方法：
幾何方法：充分利用圖形的幾何特征及意義，考慮幾何性質(zhì)解決問題
代數(shù)方法：建立目標(biāo)函數(shù)，再求目標(biāo)函數(shù)的值．
【新題導(dǎo)練】
7. 已知P是橢圓C： 的動點，點 關(guān)于原點O的對稱點是B，若|PB|的小值為 ，求點P的橫坐標(biāo)的取值范圍。
[解析]由 ，設(shè)
，
， ，解得 或
又 或
8. 定長為3的線段AB的兩個端點在拋物線 上移動，記線段AB的中點為M，求點M到y(tǒng)軸的短距離，并求此時點M的坐標(biāo)．
[解析] 設(shè) ， ，
因AB與x軸不平行，故可設(shè)AB的方程為 ，
將它代入 得
由 得 即
，
將 代入得
當(dāng)且僅當(dāng) 即 時取等號，此時，
所以，點M 為 或 時，到y(tǒng)軸的短距離小，小值為 ．
9.直線m：y＝kx＋1和雙曲線x2－y2＝1的左支交于A，B兩點，直線 過點P（－2，0）和線段AB的中點M，求 在y軸上的截距b的取值范圍．
[解析] 由 消去y得：
解得
設(shè)M（x0，y0）則
三點共線
令 上為減函數(shù).
10.已知橢圓 ，A（4，0），B（2，2）是橢圓內(nèi)的兩點，P是橢圓上任一點，求：（1）求 的小值；
（2）求|PA|＋|PB|的小值和大值．
[解析]（1）小值為
（2）大值為10＋|BC|＝ ；小值為10－|BC|＝ ．
考點4 定點，定值的問題
題型：論證曲線過定點及圖形（點）在變化過程中存在不變量
[例6] 已知P、Q是橢圓C： 上的兩個動點， 是橢圓上一定點， 是其左焦點，且|PF|、|MF|、|QF|成等差數(shù)列。
求證：線段PQ的垂直平分線經(jīng)過一個定點A；
【解題思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差數(shù)列”找出兩動點間的坐標(biāo)關(guān)系
證明：設(shè) 知
同理
①當(dāng) ，
從而有 設(shè)PQ的中點為 ，
得線段PQ的中垂線方程為
②當(dāng)
線段PQ的中垂線是x軸，也過點
【指引】定點與定值問題的處理一般有兩種方法：
（1）從特殊入手，求出定點和定值，再證明這個點（值）與變量無關(guān);
（2）直接推理、計算，并在計算過程中消去變量，從而得到定點（定值）．
【新題導(dǎo)練】
11.已知拋物線C的方程為y＝x2－2m2x－(2m2＋1) (m∈R)，則拋物線C恒過定點
[解析](－1,0) [令x＝－1得y＝0]
12.試證明雙曲線 － ＝1（a＞0，b＞0）上任意一點到它的兩條漸近線的距離之積為常數(shù).
[解析] 雙曲線上任意一點為 ，
它到兩漸近線的距離之積
考點6 曲線與方程
題型：用幾種基本方法求軌跡方程
[例7]已知拋物線C： y2＝4x，若橢圓左焦點及相應(yīng)的準(zhǔn)線與拋物線C的焦點F及準(zhǔn)線l分別重合，試求橢圓短軸端點B與焦點F連線中點P的軌跡方程；
【解題思路】探求動點滿足的幾何關(guān)系，在轉(zhuǎn)化為方程
［解析］由拋物線y2＝4x,得焦點F(1,0),準(zhǔn)線 x＝－1
(1)設(shè)P(x,y)，則B(2x－1,2y), 橢圓中心O′,則|FO′|∶|BF|＝e,
又設(shè)點B到l的距離為d,則|BF|∶d＝e,∴|FO′|∶|BF|＝|BF|∶d,
即(2x－2)2＋(2y)2＝2x(2x－2),化簡得P點軌跡方程為y2＝x－1(x＞1)
[指引] 求曲線方程的方法主要有：直接法、定義法、代入法、參數(shù)法，本題用到直接法，但題目條件需要轉(zhuǎn)化
【新題導(dǎo)練】
13.點P為雙曲線 上一動點，O為坐標(biāo)原點，M為線段OP中點，則點M的軌跡方程是 .
[解析] [相關(guān)點法]
14.過雙曲線C: 的右焦點F作直線l與雙曲線C交于P、Q兩點， ,求點M的軌跡方程．
[解析]右焦點（2，0），設(shè)
得 ， ，直線l的斜率
又 , ,兩式相減得 ,
把 ， ， 代入上式得
15.已知動點 與雙曲線 的兩個焦點 、 的距離之和為定值，且 的小值為 ．求動點 的軌跡方程；
[解析]（1）由條件知，動點 的軌跡為橢圓，其中半焦距為 ，
點P在y軸上時 大，由余弦定理得 ，動點 的軌跡方程 ．
16. (廣東實驗中學(xué))已知圓C: .
(1)直線 過點P(1,2)，且與圓C交于A、B兩點，若 ，求直線 的方程；
(2)過圓C上一動點M作平行于y軸的直線m，設(shè)m與x軸的交點為N，若向量 ，求動點 的軌跡方程.
(3) 若點R(1,0)，在（2）的條件下，求 的小值.
解析（1）①當(dāng)直線 垂直于 軸時，則此時直線方程為 ， 與圓的兩個交點坐標(biāo)為 和 ，其距離為 ，滿足題意 ……1分
②若直線 不垂直于 軸，設(shè)其方程為 ，即 …2分
設(shè)圓心到此直線的距離為 ，則 ，得
∴ ， ，………4分 故所求直線方程為3x－4y＋5＝0
綜上所述，所求直線為3x－4y＋5＝0或x＝1 ……………5分
(2)設(shè)點M的坐標(biāo)為(x0,y0)，Q點坐標(biāo)為(x,y)則N點坐標(biāo)是(x0, 0)
∵ ，∴ 即 ， ………7分
又∵ ，∴ …………9分
直線m //y軸，所以， ,∴ 點的軌跡方程是 ( )……10分
（3）設(shè)Q坐標(biāo)為(x,y)， ， ，……11分
又 ( )可得：
.………13分
…………14分
★課后訓(xùn)練★
基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練
1. 已知 是三角形的一個內(nèi)角，且 ，則方程 表示
（A）焦點在x軸上的橢圓 （B）焦點在y軸上的橢圓
（C）焦點在x 軸上的雙曲線 （D）焦點在y 軸上的雙曲線
1.[解析] B. 由 知 ，
2. 已知點M（3，4）在一橢圓上，則以點M為頂點的橢圓的內(nèi)接矩形的面積是（ ）
（A）12 （B）24 （C）48 （D）與橢圓有關(guān)
2. [解析] C [由橢圓的對稱性可知];
3. 已知點F（ ，直線 ，點B是l上的動點.若過B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點M，則點M的軌跡是 （ ）
A．雙曲線 B．橢圓 C．圓 D．拋物線
3.[解析]D. [MB＝MF]
4. 過雙曲線 的右焦點作直線交雙曲線于A、B兩點，且 ，則這樣的直線有___________條.
4.[解析] 3； 垂直于實軸的弦長為4,實軸長為2.
5. 是橢圓 的左、右焦點，點 在橢圓上運動，則 的大值是 ．
5.[解析] ≤ ;
6. 若雙曲線 與圓 有公共點，則實數(shù) 的取值范圍為 .
6. [解析] [ ]
綜合提高訓(xùn)練
7. 已知拋物線 的弦AB經(jīng)過點P（4，2）且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點），弦AB所在直線的方程為
7.[解析] 12x —23y—2＝0 記住結(jié)論：
8.已知橢圓 ，直線l到原點的距離為 求證：直線l與橢圓必有兩上交點.
8.[解析] 證明：當(dāng)直線l垂直x軸時，由題意知：
不妨取 代入曲線E的方程得：
即G（ ， ），H（ ，－ ）有兩個不同的交點，
當(dāng)直線l不垂直x軸時，設(shè)直線l的方程為：
由題意知：
由
∴直線l與橢圓E交于兩點, 綜上，直線l必與橢圓E交于兩點
9. 求過橢圓 內(nèi)一點A（1，1）的弦PQ的中點M的軌跡方程．
9.［解析］解：設(shè)動弦PQ的方程為 ，設(shè)P（ ），Q（ ），M（ ），則： ① ②
①－②得：
當(dāng) 時，
由題意知 ，即 ③
③式與 聯(lián)立消去k，得 ④
當(dāng) 時，k不存在，此時， ，也滿足④．
故弦PQ的中點M的軌跡方程為：
10 .已知拋物線 ．過動點M（ ，0）且斜率為1的直線 與該拋物線交于不同的兩點A、B．若 ,求a的取值范圍．
10 .[解析]直線 的方程為 ，將 ，
得: ．
設(shè)直線 與拋物線的兩個不同交點的坐標(biāo)為 、 ，
則 又 ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
解得 ．
11. 過拋物線 的焦點作一條斜率為k(k≠0)的弦，此弦滿足：①弦長不超過8；②弦所在的直線與橢圓3x2 ＋ 2y2 ＝ 2相交，求k的取值范圍．
11. 解析：拋物線 的焦點為(1，0)，設(shè)弦所在直線方程為
由 得 2分
∴ 故
由 ，解得k≥1
由 得 8分
由 ，解得k2 < 3 因此1≤k2 < 3
∴k的取值范圍是[ ，－1]∪[1， ]
12. 在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知兩點A（－2，0）及B（2，0），動點Q到點A的距離為6，線段BQ的垂直平分線交AQ于點P。
（Ⅰ）證明|PA|＋|PB|為常數(shù)，并寫出點P的軌跡T的方程；
12. 解：）連結(jié)PB∵線段BQ的垂直平分線與AQ交于點P，∴|PB|＝|PQ|，又|AQ|＝6，
∴|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PQ|＝|AQ|＝6（常數(shù)）。
又|PA|＋|PB|>|AB|，從而P點的軌跡T是中心在原點，以A、B為兩個焦點，長軸在x軸上的橢圓，其中，2a＝6，2c＝4，∴橢圓方程為