最長(zhǎng)上升子序列LIS算法實(shí)現(xiàn)
最長(zhǎng)上升子序列問(wèn)題是各類信息學(xué)競(jìng)賽中的常見(jiàn)題型，也常常用來(lái)做介紹動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的引例，筆者接下來(lái)將會(huì)對(duì)POJ上出現(xiàn)過(guò)的這類題目做一個(gè)總結(jié)，并介紹解決LIS問(wèn)題的兩個(gè)常用算法(n^2)和(nlogn).
問(wèn)題描述:給出一個(gè)序列a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7....an,求它的一個(gè)子序列(設(shè)為s1,s2,...sn)，使得這個(gè)子序列滿足這樣的性質(zhì)，s1
例如有一個(gè)序列:1 7 3 5 9 4 8,它的最長(zhǎng)上升子序列就是 1 3 4 8 長(zhǎng)度為4.
算法1(n^2):我們依次遍歷整個(gè)序列，每一次求出從第一個(gè)數(shù)到當(dāng)前這個(gè)數(shù)的最長(zhǎng)上升子序列，直至遍歷到最后一個(gè)數(shù)字為止，然后再取dp數(shù)組里的那個(gè)即為整個(gè)序列的最長(zhǎng)上升子序列。我們用dp[i]來(lái)存放序列1-i的最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度，那么dp[i]=max(dp[j])+1,(j∈[1, i-1]); 顯然dp[1]=1,我們從i=2開(kāi)始遍歷后面的元素即可。
下面是模板：
//最長(zhǎng)上升子序列(n^2)模板
//入口參數(shù)：1.數(shù)組名稱 2.數(shù)組長(zhǎng)度(注意從1號(hào)位置開(kāi)始)
template
int LIS(T a[],int n)
{
int i,j;
int ans=1;
int m=0;
int *dp=new int[n+1];
dp[1]=1;
for(i=2;i<=n;i++)
{
m=0;
for(j=1;j
{
if(dp[j]>m&&a[j]
m=dp[j];
}
dp[i]=m+1;
if(dp[i]>ans)
ans=dp[i];
}
return ans;
}
算法2(nlogn):維護(hù)一個(gè)一維數(shù)組c，并且這個(gè)數(shù)組是動(dòng)態(tài)擴(kuò)展的，初始大小為1，c[i]表示最長(zhǎng)上升子序列長(zhǎng)度是i的所有子串中末尾最小的那個(gè)數(shù)，根據(jù)這個(gè)數(shù)字，我們可以比較知道，只要當(dāng)前考察的這個(gè)數(shù)比c[i]大，那么當(dāng)前這個(gè)數(shù)一定能通過(guò)c[i]構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)度為i+1的上升子序列。當(dāng)然我們希望在C數(shù)組中找一個(gè)盡量靠后的數(shù)字，這樣我們得到的上升子串的長(zhǎng)度最長(zhǎng)，查找的時(shí)候使用二分搜索，這樣時(shí)間復(fù)雜度便下降了。
模板如下：
//最長(zhǎng)上升子序列nlogn模板
//入口參數(shù):數(shù)組名+數(shù)組長(zhǎng)度，類型不限，結(jié)構(gòu)體類型可以通過(guò)重載運(yùn)算符實(shí)現(xiàn)
//數(shù)組下標(biāo)從1號(hào)開(kāi)始。
/**//////////////////////////BEGIN_TEMPLATE_BY_ABILITYTAO_ACM////////////////////////////
template
int bsearch(T c[],int n,T a)
{
int l=1, r=n;
while(l<=r)
{
int mid = (l+r)/2;
if( a > c[mid] && a <= c[mid+1] ) return mid+1; // >&&<= 換為: >= && <
else if( a < c[mid] ) r = mid-1;
else l = mid+1;
}
}
template
int LIS(T a[], int n)
{
int i, j, size = 1;
T *c=new T[n+1];
int *dp=new int[n+1];
c[1] = a[1]; dp[1] = 1;
for(i=2;i<=n;++i)
{
if( a[i] <= c[1] ) j = 1;// <= 換為: <
else if( a[i] >c[size] )
j=++size; // > 換為: >=
else
j = bsearch(c, size, a[i]);
c[j] = a[i]; dp[i] = j;
}
return size;
}