1.橢圓+=1的兩個焦點分別為點F1、F2，點P是橢圓上任意一點(非左右頂點)，則△PF1F2的周長為( )
A.6B.8
C.10D.12
答案 C
解析 由+=1知a=3，b=，c==2，所以△PF1F2周長為2a+2c=6+4=10，故選C.
2.已知圓x2+y2+mx-=0與拋物線x2=4y的準線相切，則實數(shù)m等于( )
A.±2B.±
C.D.
答案 B
解析 因為圓x2+y2+mx-=0，即(x+)2+y2=與拋物線x2=4y的準線相切，所以=1，
m=±，故選B.
3.點F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦點，過點F1的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點，若△ABF2為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為( )
A.B.2
C.D.3
答案 C
解析 ∵△ABF2是等邊三角形，∴|BF2|=|AB|，
根據(jù)雙曲線的定義，可得|BF1|-|BF2|=2a，
∴|BF1|-|AB|=|AF1|=2a，
又∵|AF2|-|AF1|=2a，∴|AF2|=|AF1|+2a=4a.
∵在△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，
∠F1AF2=120°，
∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|·cos120°，
即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×(-)=28a2，
解得c=a，由此可得雙曲線C的離心率e==.
4.如圖，拋物線的頂點在坐標原點，焦點為F，過拋物線上一點A(3，y)向準線l作垂線，垂足為B，若△ABF為等邊三角形，則拋物線的標準方程是( )
A.y2=xB.y2=x
C.y2=2xD.y2=4x
答案 D
解析 設拋物線方程為y2=2px，則F(，0)，將A(3，y)代入拋物線方程得y2=6p，y=，由于△ABF為等邊三角形，故kAF=，即=，解得p=2.
5.過雙曲線x2-=1右支上一點P，分別向圓C1：(x+4)2+y2=4和圓C2：(x-4)2+y2=1作切線，切點分別為M，N，則|PM|2-|PN|2的最小值為( )
A.10B.13
C.16D.19
答案 B
解析 |PM|2-|PN|2=(|PC1|2-4)-(|PC2|2-1)=|PC1|2-|PC2|2-3
=(|PC1|-|PC2|)(|PC1|+|PC2|)-3
=2(|PC1|+|PC2|)-3≥2|C1C2|-3=13，
故選B.
6.雙曲線C：-=1(a>0，b>0)與拋物線y2=2px(p>0)相交于A，B兩點，直線AB恰好過它們的公共焦點F，則雙曲線C的離心率為( )
A.B.1+
C.2D.2+
答案 B
解析 由題意，得xA=xB==c，
|yA|==p=2c，
因此-=1=b2=2acc2-a2=2ac
e2-2e-1=0e=1+(負值舍去)，故選B.
7.已知a>b>0，橢圓C1的方程為+=1，雙曲線C2的方程為-=1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為( )
A.x±y=0B.x±y=0
C.2x±y=0D.x±2y=0
答案 B
解析 a>b>0，橢圓C1的方程為+=1，離心率為;雙曲線C2的方程為-=1，離心率為.
∵C1與C2的離心率之積為，
∴·=，
∴()2=，=，
C2的漸近線方程為：y=±x，
即x±y=0.故選B.
8.我們把焦點相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關曲線”.已知點F1、F2是一對相關曲線的焦點，點P是它們在第一象限的交點，當∠F1PF2=30°時，這一對相關曲線中橢圓的離心率是( )
A.7-4B.2-
C.-1D.4-2
答案 B
解析 由題意設橢圓方程為+=1，
雙曲線方程為-=1，且c=c1.
由題意·=1，(*)
又∠F1PF2=30°，由余弦定理得：
在橢圓中，4c2=4a2-(2+)|PF1||PF2|，
在雙曲線中，4c2=4a+(2-)|PF1||PF2|，
可得b=(7-4)b2，代入(*)得
c4=aa2=(c2-b)a2=(8-4)c2a2-(7-4)a4，
即e4-(8-4)e2+(7-4)=0，
得e2=7-4，即e=2-，故選B.
9.在平面直角坐標系xOy中，點P為雙曲線x2-2y2=1的右支上的一個動點，若點P到直線x-2y+2=0的距離大于m恒成立，則實數(shù)m的值為( )
A.2B.
C. D.
答案 C
解析 設點P(x，y)，由題意得[]min>m，而直線x-2y+2=0與漸近線x-2y=0的距離為=，因此[]min>，即m≤，實數(shù)m的值為，故選C.
A.6B.8
C.10D.12
答案 C
解析 由+=1知a=3，b=，c==2，所以△PF1F2周長為2a+2c=6+4=10，故選C.
2.已知圓x2+y2+mx-=0與拋物線x2=4y的準線相切，則實數(shù)m等于( )
A.±2B.±
C.D.
答案 B
解析 因為圓x2+y2+mx-=0，即(x+)2+y2=與拋物線x2=4y的準線相切，所以=1，
m=±，故選B.
3.點F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦點，過點F1的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點，若△ABF2為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為( )
A.B.2
C.D.3
答案 C
解析 ∵△ABF2是等邊三角形，∴|BF2|=|AB|，
根據(jù)雙曲線的定義，可得|BF1|-|BF2|=2a，
∴|BF1|-|AB|=|AF1|=2a，
又∵|AF2|-|AF1|=2a，∴|AF2|=|AF1|+2a=4a.
∵在△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，
∠F1AF2=120°，
∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|·cos120°，
即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×(-)=28a2，
解得c=a，由此可得雙曲線C的離心率e==.
4.如圖，拋物線的頂點在坐標原點，焦點為F，過拋物線上一點A(3，y)向準線l作垂線，垂足為B，若△ABF為等邊三角形，則拋物線的標準方程是( )
A.y2=xB.y2=x
C.y2=2xD.y2=4x
答案 D
解析 設拋物線方程為y2=2px，則F(，0)，將A(3，y)代入拋物線方程得y2=6p，y=，由于△ABF為等邊三角形，故kAF=，即=，解得p=2.
5.過雙曲線x2-=1右支上一點P，分別向圓C1：(x+4)2+y2=4和圓C2：(x-4)2+y2=1作切線，切點分別為M，N，則|PM|2-|PN|2的最小值為( )
A.10B.13
C.16D.19
答案 B
解析 |PM|2-|PN|2=(|PC1|2-4)-(|PC2|2-1)=|PC1|2-|PC2|2-3
=(|PC1|-|PC2|)(|PC1|+|PC2|)-3
=2(|PC1|+|PC2|)-3≥2|C1C2|-3=13，
故選B.
6.雙曲線C：-=1(a>0，b>0)與拋物線y2=2px(p>0)相交于A，B兩點，直線AB恰好過它們的公共焦點F，則雙曲線C的離心率為( )
A.B.1+
C.2D.2+
答案 B
解析 由題意，得xA=xB==c，
|yA|==p=2c，
因此-=1=b2=2acc2-a2=2ac
e2-2e-1=0e=1+(負值舍去)，故選B.
7.已知a>b>0，橢圓C1的方程為+=1，雙曲線C2的方程為-=1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為( )
A.x±y=0B.x±y=0
C.2x±y=0D.x±2y=0
答案 B
解析 a>b>0，橢圓C1的方程為+=1，離心率為;雙曲線C2的方程為-=1，離心率為.
∵C1與C2的離心率之積為，
∴·=，
∴()2=，=，
C2的漸近線方程為：y=±x，
即x±y=0.故選B.
8.我們把焦點相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關曲線”.已知點F1、F2是一對相關曲線的焦點，點P是它們在第一象限的交點，當∠F1PF2=30°時，這一對相關曲線中橢圓的離心率是( )
A.7-4B.2-
C.-1D.4-2
答案 B
解析 由題意設橢圓方程為+=1，
雙曲線方程為-=1，且c=c1.
由題意·=1，(*)
又∠F1PF2=30°，由余弦定理得：
在橢圓中，4c2=4a2-(2+)|PF1||PF2|，
在雙曲線中，4c2=4a+(2-)|PF1||PF2|，
可得b=(7-4)b2，代入(*)得
c4=aa2=(c2-b)a2=(8-4)c2a2-(7-4)a4，
即e4-(8-4)e2+(7-4)=0，
得e2=7-4，即e=2-，故選B.
9.在平面直角坐標系xOy中，點P為雙曲線x2-2y2=1的右支上的一個動點，若點P到直線x-2y+2=0的距離大于m恒成立，則實數(shù)m的值為( )
A.2B.
C. D.
答案 C
解析 設點P(x，y)，由題意得[]min>m，而直線x-2y+2=0與漸近線x-2y=0的距離為=，因此[]min>，即m≤，實數(shù)m的值為，故選C.