1.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn=2an-4(n∈N*)，則an的通項公式為________.
答案 2n+1
解析 an+1=Sn+1-Sn=2a n+1-4-(2an-4)an+1=2an，再令n=1，∴S1=2a1-4a1=4，∴數(shù)列{an}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴an=4·2n-1=2n+1.
2.已知數(shù)列{an}滿足an+2=an+1-an，且a1=2，a2=3，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則S2 016的值為________.
答案 0
解析 由題意得，a3=a2-a1=1，a4=a3-a2=-2，a5=a4-a3=-3，a6=a5-a4=-1，a7=a6-a5=2，∴數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列，而2 016=6·336，∴S2 016=336S6=0.
3.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a5=14-a6，則S10等于________.
答案 70
解析 a5=14-a6a5+a6=14，
S10===70.
4.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2=4，S10=110，則使取得最小值時n的值為________.
答案 8
解析 a2=4，S10=110a1+d=4,10a1+45d=110a1=2，d=2，因此==++，又n∈N*，所以當(dāng)n=8時，取得最小值.
5.等比數(shù)列{an}中，a3a5=64，則a4等于________.
答案 8或-8
解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)知，a3a5=a，
所以a=64，所以a4=8或a4=-8.
6.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1+a3=，且a2+a4=，則等于________.
答案 2n-1
解析 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
則解得
∴===2n-1.
7.設(shè)函數(shù)f(x)=xa+ax的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=2x+2，則數(shù)列{}的前9項和是________.
答案
解析 由題意得函數(shù)f(x)=xa+ax的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=2x+2，即axa-1+a=2x+2，所以a=2，即f(x)=x2+2x，==(-)，
所以Sn=(1-+-+-+…+-)=(1+--).
則S9=(1+--)=.
8.已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比數(shù)列，若a1=1，Sn是數(shù)列{an}前n項的和，則(n∈N*)的最小值為________.
答案 4
解析 據(jù)題意由a1，a3，a13成等比數(shù)列可得(1+2d)2=1+12d，解得d=2，故an=2n-1，Sn=n2，因此====(n+1)+-2，據(jù)基本不等式知=(n+1)+-2≥2 -2=4，當(dāng)n=2時取得最小值4.
9.等比數(shù)列{an}中，a4=2，a5=5，則數(shù)列{lg an}的前8項和等于________.
答案 4
解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)有a1a8=a2a7=a3a6=a4a5，
所以T8=lg a1+lg a2+…+lg a8
=lg(a1a2…a8)=lg(a4a5)4=lg(10)4=4.
10.已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2n且a1=2，則數(shù)列{an}的通項公式an=____________.
答案 n2-n+2
解析 an+1=an+2n，
∴an+1-an=2n，采用累加法可得
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1，
=2(n-1)+2(n-2)+…+2+2=n2-n+2.
11.若數(shù)列{an}滿足an=3an-1+2(n≥2，n∈N*)，a1=1，則數(shù)列{an}的通項公式為an=____________.
答案 2×3n-1-1
解析 設(shè)an+λ=3(an-1+λ)，化簡得an=3an-1+2λ，
∵an=3an-1+2，∴λ=1，
∴an+1=3(an-1+1)，∵a1=1，∴a1+1=2，
∴數(shù)列{an+1}是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，
∴an+1=2×3n-1，∴an=2×3n-1-1.
12.數(shù)列1，2，3，4，5，…的前n項之和等于________________.
答案 +[1-()n]
解析 由數(shù)列各項可知通項公式為an=n+，由分組求和公式結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式可知前n項和為Sn=+[1-()n].
13.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，an+1=λSn+1(n∈N*，且λ≠-1)，且a1,2a2，a3+3為等差數(shù)列{bn}的前三項.
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和.
解 (1)方法一 ∵an+1=λSn+1(n∈N*)，
∴an=λSn-1+1(n≥2).
∴an+1-an=λan，即an+1=(λ+1)an (n≥2)，λ+1≠0，
又a1=1，a2=λS1+1=λ+1，
∴數(shù)列{an}是以1為首項，以λ+1為公比的等比數(shù)列，
∴a3=(λ+1)2，∴4(λ+1)=1+(λ+1)2+3，
整理得λ2-2λ+1=0，得λ=1.
∴an=2n-1，bn=1+3(n-1)=3n-2.
方法二 ∵a1=1，an+1=λSn+1(n∈N*)，
∴a2=λS1+1=λ+1，
a3=λS2+1=λ(1+λ+1)+1=λ2+2λ+1.
∴4(λ+1)=1+λ2+2λ+1+3，
整理得λ2-2λ+1=0，得λ=1.
∴an+1=Sn+1 (n∈N*)，
an=Sn-1+1(n≥2)，
∴an+1-an=an，即an+1=2an (n≥2)，又a1=1，a2=2，
∴數(shù)列{an}是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
∴an=2n-1，bn=1+3(n-1)=3n-2.
(2)設(shè)數(shù)列{anbn}的前n項和為Tn，
anbn=(3n-2)·2n-1，
∴Tn=1·1+4·21+7·22+…+(3n-2)·2n-1.①
∴2Tn=1·21+4·22+7·23+…+(3n-5)·2n-1+(3n-2)·2n.②
①-②得，-Tn=1·1+3·21+3·22+…+3·2n-1-(3n-2)·2n=1+3·-(3n-2)·2n.
整理得Tn=(3n-5)·2n+5.
14.已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，前n項和為Sn，且Sn= (n∈N*)，
(1)求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
(2)設(shè)bn=，Tn=b1+b2+…+bn，若λ≤Tn對于任意n∈N*恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍.
(1)證明 ∵Sn= (n∈N*)，①
∴Sn-1= (n≥2).②
①-②得an= (n≥2)，
整理得(an+an-1)(an-an-1)=(an+an-1)，
∵數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，∴an+an-1≠0，
∴an-an-1=1(n≥2).
當(dāng)n=1時，a1=1，
∴數(shù)列{an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.
(2)解 由(1)得Sn=，
∴bn===2(-)，
∴Tn=2[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]=2(1-)=，
∵Tn=，∴Tn單調(diào)遞增，∴Tn≥T1=1，∴λ≤1.故λ的取值范圍為(-∞，1].
答案 2n+1
解析 an+1=Sn+1-Sn=2a n+1-4-(2an-4)an+1=2an，再令n=1，∴S1=2a1-4a1=4，∴數(shù)列{an}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴an=4·2n-1=2n+1.
2.已知數(shù)列{an}滿足an+2=an+1-an，且a1=2，a2=3，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則S2 016的值為________.
答案 0
解析 由題意得，a3=a2-a1=1，a4=a3-a2=-2，a5=a4-a3=-3，a6=a5-a4=-1，a7=a6-a5=2，∴數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列，而2 016=6·336，∴S2 016=336S6=0.
3.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a5=14-a6，則S10等于________.
答案 70
解析 a5=14-a6a5+a6=14，
S10===70.
4.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2=4，S10=110，則使取得最小值時n的值為________.
答案 8
解析 a2=4，S10=110a1+d=4,10a1+45d=110a1=2，d=2，因此==++，又n∈N*，所以當(dāng)n=8時，取得最小值.
5.等比數(shù)列{an}中，a3a5=64，則a4等于________.
答案 8或-8
解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)知，a3a5=a，
所以a=64，所以a4=8或a4=-8.
6.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1+a3=，且a2+a4=，則等于________.
答案 2n-1
解析 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
則解得
∴===2n-1.
7.設(shè)函數(shù)f(x)=xa+ax的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=2x+2，則數(shù)列{}的前9項和是________.
答案
解析 由題意得函數(shù)f(x)=xa+ax的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=2x+2，即axa-1+a=2x+2，所以a=2，即f(x)=x2+2x，==(-)，
所以Sn=(1-+-+-+…+-)=(1+--).
則S9=(1+--)=.
8.已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比數(shù)列，若a1=1，Sn是數(shù)列{an}前n項的和，則(n∈N*)的最小值為________.
答案 4
解析 據(jù)題意由a1，a3，a13成等比數(shù)列可得(1+2d)2=1+12d，解得d=2，故an=2n-1，Sn=n2，因此====(n+1)+-2，據(jù)基本不等式知=(n+1)+-2≥2 -2=4，當(dāng)n=2時取得最小值4.
9.等比數(shù)列{an}中，a4=2，a5=5，則數(shù)列{lg an}的前8項和等于________.
答案 4
解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)有a1a8=a2a7=a3a6=a4a5，
所以T8=lg a1+lg a2+…+lg a8
=lg(a1a2…a8)=lg(a4a5)4=lg(10)4=4.
10.已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2n且a1=2，則數(shù)列{an}的通項公式an=____________.
答案 n2-n+2
解析 an+1=an+2n，
∴an+1-an=2n，采用累加法可得
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1，
=2(n-1)+2(n-2)+…+2+2=n2-n+2.
11.若數(shù)列{an}滿足an=3an-1+2(n≥2，n∈N*)，a1=1，則數(shù)列{an}的通項公式為an=____________.
答案 2×3n-1-1
解析 設(shè)an+λ=3(an-1+λ)，化簡得an=3an-1+2λ，
∵an=3an-1+2，∴λ=1，
∴an+1=3(an-1+1)，∵a1=1，∴a1+1=2，
∴數(shù)列{an+1}是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，
∴an+1=2×3n-1，∴an=2×3n-1-1.
12.數(shù)列1，2，3，4，5，…的前n項之和等于________________.
答案 +[1-()n]
解析 由數(shù)列各項可知通項公式為an=n+，由分組求和公式結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式可知前n項和為Sn=+[1-()n].
13.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，an+1=λSn+1(n∈N*，且λ≠-1)，且a1,2a2，a3+3為等差數(shù)列{bn}的前三項.
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和.
解 (1)方法一 ∵an+1=λSn+1(n∈N*)，
∴an=λSn-1+1(n≥2).
∴an+1-an=λan，即an+1=(λ+1)an (n≥2)，λ+1≠0，
又a1=1，a2=λS1+1=λ+1，
∴數(shù)列{an}是以1為首項，以λ+1為公比的等比數(shù)列，
∴a3=(λ+1)2，∴4(λ+1)=1+(λ+1)2+3，
整理得λ2-2λ+1=0，得λ=1.
∴an=2n-1，bn=1+3(n-1)=3n-2.
方法二 ∵a1=1，an+1=λSn+1(n∈N*)，
∴a2=λS1+1=λ+1，
a3=λS2+1=λ(1+λ+1)+1=λ2+2λ+1.
∴4(λ+1)=1+λ2+2λ+1+3，
整理得λ2-2λ+1=0，得λ=1.
∴an+1=Sn+1 (n∈N*)，
an=Sn-1+1(n≥2)，
∴an+1-an=an，即an+1=2an (n≥2)，又a1=1，a2=2，
∴數(shù)列{an}是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
∴an=2n-1，bn=1+3(n-1)=3n-2.
(2)設(shè)數(shù)列{anbn}的前n項和為Tn，
anbn=(3n-2)·2n-1，
∴Tn=1·1+4·21+7·22+…+(3n-2)·2n-1.①
∴2Tn=1·21+4·22+7·23+…+(3n-5)·2n-1+(3n-2)·2n.②
①-②得，-Tn=1·1+3·21+3·22+…+3·2n-1-(3n-2)·2n=1+3·-(3n-2)·2n.
整理得Tn=(3n-5)·2n+5.
14.已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，前n項和為Sn，且Sn= (n∈N*)，
(1)求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
(2)設(shè)bn=，Tn=b1+b2+…+bn，若λ≤Tn對于任意n∈N*恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍.
(1)證明 ∵Sn= (n∈N*)，①
∴Sn-1= (n≥2).②
①-②得an= (n≥2)，
整理得(an+an-1)(an-an-1)=(an+an-1)，
∵數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，∴an+an-1≠0，
∴an-an-1=1(n≥2).
當(dāng)n=1時，a1=1，
∴數(shù)列{an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.
(2)解 由(1)得Sn=，
∴bn===2(-)，
∴Tn=2[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]=2(1-)=，
∵Tn=，∴Tn單調(diào)遞增，∴Tn≥T1=1，∴λ≤1.故λ的取值范圍為(-∞，1].