這篇奧數(shù)數(shù)論基礎知識點總結的文章，是特地為大家整理的，希望對大家有所幫助！
一 質(zhì)數(shù)和合數(shù)
（1）一個數(shù)除了1和它本身，不再有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也叫做素數(shù)）。 一個數(shù)除了1和它本身，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。
（2）自然數(shù)除0和1外，按約數(shù)的個數(shù)分為質(zhì)數(shù)和合數(shù)兩類。
任何一個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式。
要特別記住：0和1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。
（3）最小的質(zhì)數(shù)是2 ，2是的偶質(zhì)數(shù)，其他質(zhì)數(shù)都為奇數(shù)；
最小的合數(shù)是4。
（4）質(zhì)數(shù)是一個數(shù)，是含有兩個約數(shù)的自然數(shù) 。
互質(zhì)數(shù)是指兩個數(shù)，是公約數(shù)只有一的兩個數(shù)，組成互質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)可能是兩個質(zhì)數(shù)（３和５），可能是一個質(zhì)數(shù)和一個合數(shù)（３和４），可能是兩個合數(shù)（４和９）或1與另一個自然數(shù)。
（５）如果一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么就說這個質(zhì)數(shù)是這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。 把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。
（６）１００以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有２５個：２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、
２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、
８３、８９、９７ ．
二 整除性
（１）概念
一般地，如a、b、c為整數(shù)，b≠0，且a÷b=c，即整數(shù)a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整數(shù)而沒有余數(shù)（或者說余數(shù)是0），我們就說，a能被b整除（或者說b能整除a）。記作b｜a.否則，稱為a不能被b整除，（或b不能整除a），記作b a。
如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。 （２）性質(zhì)
性質(zhì)1：（整除的加減性）如果a、b都能被c整除，那么它們的和與差也能被c整除。
即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。 也就是說，被除數(shù)加上或減去一些除數(shù)的倍數(shù)不影響除數(shù)對它的整除性。 性質(zhì)2：如果b與c的積能整除a，那么b與c都能整除a.
即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
性質(zhì)3：（整除的互質(zhì)可積性）如果b、c都能整除a，且b和c互質(zhì)，那么b與c的積能整除a。
即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,
那么（2×7）｜28。
性質(zhì)4：（整除的傳遞性）如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
（３）數(shù)的整除特征
①能被2整除的數(shù)的特征：個位數(shù)字是0、2、4、6、8的整數(shù).
②能被5整除的數(shù)的特征：個位是0或5。突破口
③能被3（或9）整除的數(shù)的特征：各個數(shù)位數(shù)字之和能被3（或9）整除。 判斷能被3（或9）整除的數(shù)還可以用“棄３（或９）法”：
例如：８３５１７４６能被９整除么？
解：８＋１＝９，３＋６＝９，５＋４＝９，在數(shù)字中只剩７，７不是９的倍數(shù)，所以８３５１７４６不能被９整除。
④能被4（或25）整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4（或25）整除。 ⑤能被8（或125）整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8（或125）整除。 ⑥能被11整除的數(shù)的特征：這個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大減?。┦?1的倍數(shù)。
⑦能被7（11或13）整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（以大減小）能被7（11或13）整除，依此反復檢驗。 例如：判斷3546725能否被13整除？
解：把3546725分為3546和725兩個數(shù).因為3546-725=2821.再把2821分為2和821兩個數(shù)，因為821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，進而13｜3546725.
上述辦法也可以用來判斷余數(shù)和末位數(shù)；
對于其他的數(shù)，可以將其分解成上述幾個互質(zhì)的數(shù)的乘積，再逐個考慮。
三 約數(shù)與倍數(shù)
（１）公約數(shù)和公約數(shù)
幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中的一個，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)。
例如：４是１２和１６的公約數(shù)，可記做：（１２ ，１６）＝４ （２）公倍數(shù)和最小公倍數(shù)
幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。
例如：36是12和18的最小公倍數(shù)，記作[12，18]=36。
（３）公約數(shù)和最小公倍數(shù)的關系
如果用a和b表示兩個自然數(shù)
１、那么這兩個自然數(shù)的公約數(shù)與最小公倍數(shù)關系是：
（a，b）×[a，b]=a×b。
（多用于求最小公倍數(shù)）
２、（a，b） ≤ a ，b ≤ [a，b]
３、[a，b]是（a，b）的倍數(shù)，（a，b）是[a，b]的約數(shù)
４、（a，b）是a＋b 和a－b 的約數(shù)，也是（a，b）＋[a，b]和（a，b）－
[a，b]的約數(shù)
（４）求公約數(shù)的方法很多，主要推薦：短除法、分解質(zhì)因數(shù)法、輾轉相除法。
例如：１、（短除法）用一個數(shù)去除30、60、75，都能整除，這個數(shù)是多少？
解：∵
（30，60，75）=5×3=15
這個數(shù)是15。
２、（分解質(zhì)因數(shù)法）求１００１和３０８的公約數(shù)是多少？
解：１００１＝７×１１×１３（這個質(zhì)分解常用到） ， ３０８＝７×１１×４
所以公約數(shù)是７×１１＝７７
在這種方法中，先將數(shù)進行質(zhì)分解，而后取它們“所有共有的質(zhì)因數(shù)之積”便是公約數(shù)。
３、（輾轉相除法）用輾轉相除法求4811和1981的公約數(shù)。
解：∵4811=2×1981+849，
1981=2×849+283，
849=3×283，
∴（4811，1981）=283。
補充說明：如果要求三個或更多的數(shù)的公約數(shù)，可以先求其中任意兩個數(shù)的公約數(shù)，再求這個公約數(shù)與另外一個數(shù)的公約數(shù)，這樣求下去，直至求得最后結果。
（５）約數(shù)個數(shù)公式
一個合數(shù)的約數(shù)個數(shù)，等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個質(zhì)因數(shù)的個數(shù)（即指數(shù)）加1的連乘的積。
例如：求240的約數(shù)的個數(shù)。
解：∵240＝24×31×51，
∴240的約數(shù)的個數(shù)是
（4＋1）×（1+1）×（1＋1）=20，
∴240有20個約數(shù)。
四 奇偶性
（1）奇數(shù)和偶數(shù)
整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類.能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。
偶數(shù)通?？梢杂?k（k為整數(shù)）表示，奇數(shù)則可以用2k+1（k為整數(shù)）表示。 特別注意，因為0能被2整除，所以0是偶數(shù)。
最小的奇數(shù)是１ ，最小的偶數(shù)是０ ．
（2）奇數(shù)與偶數(shù)的運算性質(zhì)
性質(zhì)1：偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，
奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)。
性質(zhì)2：偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)。
性質(zhì)3：偶數(shù)個奇數(shù)相加得偶數(shù)。
性質(zhì)4：奇數(shù)個奇數(shù)相加得奇數(shù)。
性質(zhì)5：偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)，
奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)。
偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)
（３）反證法
例：桌上有9只杯子，全部口朝上，每次將其中6只同時“翻轉”.請說明：無論經(jīng)過多少次這樣的“翻轉”，都不能使9只杯子全部口朝下。
解：要使一只杯子口朝下，必須經(jīng)過奇數(shù)次“翻轉”.要使9只杯子口全朝下，必須經(jīng)過9個奇數(shù)之和次“翻轉”.即“翻轉”的總次數(shù)為奇數(shù).但是，按規(guī)定每次翻轉6只杯子，無論經(jīng)過多少次“翻轉”，翻轉的總次數(shù)只能是偶數(shù)次.因此無論經(jīng)過多少次“翻轉”，都不能使9只杯子全部口朝下。
這個證明過程教給我們一種思考問題和解決問題的方法.先假設某種說法正確，再利用假設說法和其他性質(zhì)進行分析推理，最后得到一個不可能成立的結論，從而說明假設的說法不成立.這種思考證明的方法在數(shù)學上叫“反證法”。
一 質(zhì)數(shù)和合數(shù)
（1）一個數(shù)除了1和它本身，不再有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也叫做素數(shù)）。 一個數(shù)除了1和它本身，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。
（2）自然數(shù)除0和1外，按約數(shù)的個數(shù)分為質(zhì)數(shù)和合數(shù)兩類。
任何一個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式。
要特別記住：0和1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。
（3）最小的質(zhì)數(shù)是2 ，2是的偶質(zhì)數(shù)，其他質(zhì)數(shù)都為奇數(shù)；
最小的合數(shù)是4。
（4）質(zhì)數(shù)是一個數(shù)，是含有兩個約數(shù)的自然數(shù) 。
互質(zhì)數(shù)是指兩個數(shù)，是公約數(shù)只有一的兩個數(shù)，組成互質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)可能是兩個質(zhì)數(shù)（３和５），可能是一個質(zhì)數(shù)和一個合數(shù)（３和４），可能是兩個合數(shù)（４和９）或1與另一個自然數(shù)。
（５）如果一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么就說這個質(zhì)數(shù)是這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。 把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。
（６）１００以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有２５個：２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、
２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、
８３、８９、９７ ．
二 整除性
（１）概念
一般地，如a、b、c為整數(shù)，b≠0，且a÷b=c，即整數(shù)a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整數(shù)而沒有余數(shù)（或者說余數(shù)是0），我們就說，a能被b整除（或者說b能整除a）。記作b｜a.否則，稱為a不能被b整除，（或b不能整除a），記作b a。
如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。 （２）性質(zhì)
性質(zhì)1：（整除的加減性）如果a、b都能被c整除，那么它們的和與差也能被c整除。
即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。 也就是說，被除數(shù)加上或減去一些除數(shù)的倍數(shù)不影響除數(shù)對它的整除性。 性質(zhì)2：如果b與c的積能整除a，那么b與c都能整除a.
即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
性質(zhì)3：（整除的互質(zhì)可積性）如果b、c都能整除a，且b和c互質(zhì)，那么b與c的積能整除a。
即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,
那么（2×7）｜28。
性質(zhì)4：（整除的傳遞性）如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
（３）數(shù)的整除特征
①能被2整除的數(shù)的特征：個位數(shù)字是0、2、4、6、8的整數(shù).
②能被5整除的數(shù)的特征：個位是0或5。突破口
③能被3（或9）整除的數(shù)的特征：各個數(shù)位數(shù)字之和能被3（或9）整除。 判斷能被3（或9）整除的數(shù)還可以用“棄３（或９）法”：
例如：８３５１７４６能被９整除么？
解：８＋１＝９，３＋６＝９，５＋４＝９，在數(shù)字中只剩７，７不是９的倍數(shù)，所以８３５１７４６不能被９整除。
④能被4（或25）整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4（或25）整除。 ⑤能被8（或125）整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8（或125）整除。 ⑥能被11整除的數(shù)的特征：這個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大減?。┦?1的倍數(shù)。
⑦能被7（11或13）整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（以大減小）能被7（11或13）整除，依此反復檢驗。 例如：判斷3546725能否被13整除？
解：把3546725分為3546和725兩個數(shù).因為3546-725=2821.再把2821分為2和821兩個數(shù)，因為821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，進而13｜3546725.
上述辦法也可以用來判斷余數(shù)和末位數(shù)；
對于其他的數(shù)，可以將其分解成上述幾個互質(zhì)的數(shù)的乘積，再逐個考慮。
三 約數(shù)與倍數(shù)
（１）公約數(shù)和公約數(shù)
幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中的一個，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)。
例如：４是１２和１６的公約數(shù)，可記做：（１２ ，１６）＝４ （２）公倍數(shù)和最小公倍數(shù)
幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。
例如：36是12和18的最小公倍數(shù)，記作[12，18]=36。
（３）公約數(shù)和最小公倍數(shù)的關系
如果用a和b表示兩個自然數(shù)
１、那么這兩個自然數(shù)的公約數(shù)與最小公倍數(shù)關系是：
（a，b）×[a，b]=a×b。
（多用于求最小公倍數(shù)）
２、（a，b） ≤ a ，b ≤ [a，b]
３、[a，b]是（a，b）的倍數(shù)，（a，b）是[a，b]的約數(shù)
４、（a，b）是a＋b 和a－b 的約數(shù)，也是（a，b）＋[a，b]和（a，b）－
[a，b]的約數(shù)
（４）求公約數(shù)的方法很多，主要推薦：短除法、分解質(zhì)因數(shù)法、輾轉相除法。
例如：１、（短除法）用一個數(shù)去除30、60、75，都能整除，這個數(shù)是多少？
解：∵
（30，60，75）=5×3=15
這個數(shù)是15。
２、（分解質(zhì)因數(shù)法）求１００１和３０８的公約數(shù)是多少？
解：１００１＝７×１１×１３（這個質(zhì)分解常用到） ， ３０８＝７×１１×４
所以公約數(shù)是７×１１＝７７
在這種方法中，先將數(shù)進行質(zhì)分解，而后取它們“所有共有的質(zhì)因數(shù)之積”便是公約數(shù)。
３、（輾轉相除法）用輾轉相除法求4811和1981的公約數(shù)。
解：∵4811=2×1981+849，
1981=2×849+283，
849=3×283，
∴（4811，1981）=283。
補充說明：如果要求三個或更多的數(shù)的公約數(shù)，可以先求其中任意兩個數(shù)的公約數(shù)，再求這個公約數(shù)與另外一個數(shù)的公約數(shù)，這樣求下去，直至求得最后結果。
（５）約數(shù)個數(shù)公式
一個合數(shù)的約數(shù)個數(shù)，等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個質(zhì)因數(shù)的個數(shù)（即指數(shù)）加1的連乘的積。
例如：求240的約數(shù)的個數(shù)。
解：∵240＝24×31×51，
∴240的約數(shù)的個數(shù)是
（4＋1）×（1+1）×（1＋1）=20，
∴240有20個約數(shù)。
四 奇偶性
（1）奇數(shù)和偶數(shù)
整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類.能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。
偶數(shù)通?？梢杂?k（k為整數(shù)）表示，奇數(shù)則可以用2k+1（k為整數(shù)）表示。 特別注意，因為0能被2整除，所以0是偶數(shù)。
最小的奇數(shù)是１ ，最小的偶數(shù)是０ ．
（2）奇數(shù)與偶數(shù)的運算性質(zhì)
性質(zhì)1：偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，
奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)。
性質(zhì)2：偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)。
性質(zhì)3：偶數(shù)個奇數(shù)相加得偶數(shù)。
性質(zhì)4：奇數(shù)個奇數(shù)相加得奇數(shù)。
性質(zhì)5：偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)，
奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)。
偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)
（３）反證法
例：桌上有9只杯子，全部口朝上，每次將其中6只同時“翻轉”.請說明：無論經(jīng)過多少次這樣的“翻轉”，都不能使9只杯子全部口朝下。
解：要使一只杯子口朝下，必須經(jīng)過奇數(shù)次“翻轉”.要使9只杯子口全朝下，必須經(jīng)過9個奇數(shù)之和次“翻轉”.即“翻轉”的總次數(shù)為奇數(shù).但是，按規(guī)定每次翻轉6只杯子，無論經(jīng)過多少次“翻轉”，翻轉的總次數(shù)只能是偶數(shù)次.因此無論經(jīng)過多少次“翻轉”，都不能使9只杯子全部口朝下。
這個證明過程教給我們一種思考問題和解決問題的方法.先假設某種說法正確，再利用假設說法和其他性質(zhì)進行分析推理，最后得到一個不可能成立的結論，從而說明假設的說法不成立.這種思考證明的方法在數(shù)學上叫“反證法”。